Главная
Карта сайта
Хищные вещи
Библиотека
Приморье

Рейтинг@Mail.ru
Besucherzahler plenty of fish
счетчик для сайта

Коллективный выбор и индивидуальные ценности

Эрроу Кеннет Дж

Предисловие ко второму изданию

Число публикаций по теории коллективного выбора значительно выросло по сравнению с несколькими публикациями, существовавшими в 1951 г., когда вышло первое издание этой книги. Некоторые новые публикации относятся к техническим, математическим аспектам, но больше работ посвящено интерпретации результатов. Мои собственные представления также развивались, хотя я все еще далек от удовлетворенности нынешними формулировками. То, что первое издание полностью разошлось, показывает, что наступило время для выборочного критического пересмотра в форме дополненного комментария, названного мною "Заметки по теории коллективного выбора, 1963". В этом комментарии содержатся размышления по поводу текстов и умолчаний в них, а также по поводу самых свежих публикаций. Эта форма представляется более подходящей, чем изменение исходного текста, который до некоторой степени живет своей собственной жизнью.

К. Дж. Э.
Токио, Япония Август 1963

Благодарности

Первое издание

Это исследование было начато летом 1948 г., когда я был откомандирован из комиссии Каулза (Cowles Commision) в качестве консультанта в "RAND Corporation", которая занималась исследованиями по заказу ВВС США. Исследование было продолжено и приняло нынешнюю форму в комиссии Каулза в период с октября 1948 по июнь 1949 гг. как часть общей исследовательской программы, проводившейся по гранту Рокфеллеровского фонда. Частично работа была поддержана "RAND Corporation" в рамках контракта по исследованию задач распределения ресурсов. Данным организациям я хочу выразить свою признательность за интерес к этим исследованиям и предоставленные мне возможности.

Я хочу выразить свою благодарность следующим лицам из "RAND Corporation": А. Каплану (Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе) и Дж.В.Т. Юнгсу (университет Индианы) за помощь в постановке задачи, Д. Блэквеллу (Говардский университет) и О. Хелмеру за плодотворное обсуждение. Рукопись прочли А. Бергсон, А.Дж. Харт (Колумбийский университет), Т.С. Купманс (Комиссия Каулза по экономическим исследованиям и Чикагский университет), я очень обязан им за ценные замечания по улучшению изложения. Комментарии Ф. Модильяни (Комиссия Каулза и Иллинойский университет), Т.В. Шульца (Чикагский университет) и Г. Саймона (Комиссия Каулза и Технологический институт Карнеги) помогли в разработке экономических применений математических результатов. Мне посчастливилось получить замечания по затронутому в главе 2 вопросу измеримости полезности от Дж. Маршака (Комиссия Каулза и Чикагский университет). Раздел главы 7 о самостоятельной ценности процесса принятия решений выиграл от предложений, сделанных М. Фридменом (Чикагский университет) и П.Дж. Бьерве (Центральное статистическое бюро, Осло, Норвегия), который был тогда временным сотрудником Комиссии Каулза. Я должен поблагодарить Д. Истона (Чикагский университет) за то, что он был моим гидом по незнакомому мне царству политической философии. Математическое изложение было значительно улучшено благодаря замечаниям Т.В. Андерсона (Комиссия Каулза и Колумбийский университет), Е. Нагеля (Колумбийский университет), Дж.С.С. Маккинси (RAND Corporation) и Дж.В.Т. Юнгса. Мне необходимо упомянуть и о том, что стимулом для меня послужили несколько совещаний в Комиссии Каулза, на которых я представлял исследовательской группе тезисы своей работы для обсуждения и критики. Не стоит и говорить, что любые оставшиеся ошибки или неясности — на моей совести.

Я не могу здесь в полной мере выразить свою огромную признательность множеству моих учителей, но хотел бы выделить отдельно Г. Хотеллинга, сейчас работающего в Университете Северной Каролины, которому я обязан интересом к экономике и, в частности, к проблеме общественного благосостояния.

Благодарность заслужила и миссис Джейн Новик, редакционный секретарь Комиссии Каулза, за подготовку рукописи к печати и сопровождение ее в процессе издания и мисс Джен Куртис, ассистент редактора, за ценную помощь в корректуре и подготовке указателя.

Второе издание

Хочу поблагодарить мисс Лауру Стаггерз из Стэнфордского института математических исследований в общественных науках за ее терпеливое печатание и перепечатывание рукописи главы 8.

К. Дж. Э.

Введение

1.1. Типы коллективного выбора

В условиях капиталистической демократии существуют два основных способа коллективного выбора: голосование, обычно используемое для принятия политических решений, и рыночный механизм, обычно используемый для принятия экономических решений. В развитых демократических странах со смешанной экономикой (Великобритания, Франция, Скандинавские страны) преобладают те же два способа коллективного выбора, хотя большее применение имеют голосование и решения, прямо или косвенно основывающиеся на нем, а рыночный механизм играет меньшую роль. Во всем остальном мире, и даже на уровне более мелких социальных структур в этих странах, коллективные решения порой принимаются отдельными индивидуумами или небольшими группами, а порой (что все реже и реже случается в современном мире) эти решения принимаются на основе общепринятых традиций, например религиозных норм (пр.1).

Два последних способа — диктатура и обычай — несут в своей формальной структуре некоторую определенность, отсутствующую в голосовании или рыночном механизме. При идеальной диктатуре в выборе участвует только одна воля, в идеальном обществе, управляемом обычаем, существует только божественная воля или, может быть, согласно допущению, общая воля всех индивидуумов относительно коллективных решений, так что ни в одном из этих случаев нет конфликта воли индивидуумов (пр.2). С другой стороны, методы голосования и рынок являются механизмами объединения вкусов многих индивидуумов в процессе осуществления коллективного выбора. Методы, основанные на диктатуре и обычаях, являются или могут быть рациональными в том смысле, что любой индивидуум способен делать рациональный выбор. Можно ли такую рациональность приписать к способам коллективного выбора, в котором участвует много людей?

Здесь следует подчеркнуть, что данное исследование относится только к формальным аспектам вышеуказанного вопроса. Нас интересует, возможно ли формально построить процедуру перехода от набора известных индивидуальных предпочтений к коллективному решению, причем от такой процедуры требуется, чтобы она удовлетворяла некоторым естественным условиям. Иллюстрацией этой проблемы является хорошо известный "парадокс голосования". Пусть имеется группа, состоящая из трех голосующих, и ей предстоит выбрать между тремя возможными способами коллективных действий (например разоружением, холодной войной и реальной войной). Ожидается, что выбор данного типа приходится делать неоднократно, но иногда присутствуют не все альтернативы. По аналогии с обычным анализом полезности для отдельных потребителей, при условии постоянства желаний и изменяющихся соотношений цены/дохода, рациональное поведение группы будет означать, что группа располагает эти три альтернативы в соответствии с коллективными предпочтениями раз и навсегда, а потом выбирает в любом конкретном случае ту альтернативу из реально имеющихся, которая стоит выше всех в списке. Естественный способ получения шкалы коллективных предпочтений состоит в утверждении, что одна альтернатива является более предпочтительной, чем другая, если большинство членов группы предпочитает ее второй, т.е. выберет первую, а не вторую, если будут рассматриваться только эти две альтернативы. Пусть А, В и С — три альтернативы, а 1, 2 и 3 — три индивидуума. Пусть для первого индивидуума А предпочтительнее В и В предпочтительнее С (следовательно, А предпочтительнее С); второй индивидуум предпочитает В альтернативе С и С предпочитает альтернативе А (следовательно, для него В предпочтительнее А); третий индивидуум предпочитает С альтернативе А и А предпочитает В (следовательно, для него С предпочтительнее В). Тогда большинство предпочитает альтернативу A альтернативе В и большинство предпочитает В альтернативе С. Следовательно, можно сказать, что группа предпочитает альтернативу А альтернативе В и В предпочитает С. Если считать, что группа ведет себя рационально, то мы будем должны сказать, что A предпочтительнее, чем С. Но на самом деле большинство предпочитает С альтернативе А (пр.3). Поэтому этот метод перехода от индивидуальных предпочтений к коллективному не удовлетворяет условию рациональности в обычном понимании этого слова. Можно ли найти другие способы агрегирования индивидуальных предпочтений, которые подразумевали бы рациональное поведение со стороны общества и были бы удовлетворительны в других отношениях? (пр.4)

Если продолжить традиционное понимание рациональности как некоторого рода максимизацию (которая будет подробно рассмотрена ниже), то проблема достижения социального максимума на основе индивидуальных предпочтений — это именно та проблема, которая была центральной для экономики благосостояния. Нет необходимости давать подробный обзор истории этого предмета (пр.5). Существуют разногласия по поводу того, может ли экономист делать утверждения относительно того, что одно социальное состояние лучше другого. Если считать межличностные сравнения полезности осмысленными, тогда, по-видимому, можно ранжировать социальные состояния по сумме полезностей для индивидуумов; это и есть решение Иеремии Бентама, признанное Эджуортом и Маршаллом (пр.6). Даже в этом случае имеются на выбор различные математические формы функции общественной полезности в терминах индивидуальной полезности; так, общественная полезность могла бы быть суммой индивидуальных полезностей или их произведением, или произведением их логарифмов, или суммой их произведений, взятых попарно. Как отметил профессор Бергсон, даже на этом уровне имеются неявные ценностные суждения (пр.7). Дело обстоит значительно хуже, если отрицать возможность межличностных сравнений полезности. Именно на этом основании профессор Роббинс так яростно нападал на то, могут ли экономисты давать рекомендации по проведению той или иной политики (пр.8), по крайней мере без отхода от статуса экономистов и перехода в область этики. С другой стороны, мистер Калдор и вслед за ним профессор Хикс доказывали, что утверждение, что одно состояние лучше другого с экономической точки зрения, осмысленно (пр.9), даже без предположения о реальности межличностных сравнений полезности. Конкретный механизм предлагаемого ими сравнения различных социальных состояний — принцип компенсации — будет подробнее изучен в главе 4.

Эта полемика связана с некоторым смешением двух уровней аргументации. Не может быть сомнения, что даже при допущении возможности межличностных сравнений ценностные суждения неявно подразумеваются при любом способе совершения коллективного выбора, основанного на индивидуальной полезности; это ясно показал Бергсон. Но при заданных базовых оценках относительно способа агрегирования индивидуальных предпочтений экономист должен исследовать те механизмы коллективного выбора, которые удовлетворяют этим оценкам, и должен проверять вытекающие из них следствия, чтобы убедиться, что не было противоречий с этими оценками. В частности, ему следует задаться вопросом: согласованы ли между собой оценки, т.е. существуют ли какие-то механизмы коллективного выбора, которые действительно удовлетворяют сделанным оценкам? Например, при рассмотренном выше парадоксе голосования, если метод выбора по большинству голосов рассматривать как ценностное суждение, то неизбежен вывод о том, что это суждение, примененное к указанной ситуации, противоречиво.

В проблеме согласованности вопрос о межличностных сравнениях полезности приобретает особое значение. Бергсон считал, что можно установить упорядочение социальных состояний, основанное на картах безразличия индивидуумов, с чем соглашался и Самуэльсон (пр.10). С другой стороны, профессор Ланге при обсуждении функции общественного благосостояния допускал межличностные измерения полезности (пр.11), а в другой своей работе он настаивал на абсолютной необходимости измеримости полезности для нормативных социальных оценок (пр.12). Подобным образом и профессор Лернер в своих недавних работах в области экономики благосостояния предполагал осмысленность межличностного сравнения интенсивности полезности (пр.13).

В дальнейшей дискуссии относительно разных суждений по поводу способа коллективного выбора не принимаются во внимание различия между голосованием и рыночным механизмом, оба они будут рассмотрены как особые случаи более общей категории коллективного выбора. Неоднократно отмечалась аналогия между экономическим выбором и политическим выбором. Например, профессор Цассенхаус анализировал структуру плановой экономики путем рассмотрения замены свободного рынка воздействием, обычно понимаемым как способ распределения общественного продукта (пр.14). Он доказывал, что при условиях, подобных свободной конкуренции, рынок обмена взаимодействиями ради получения благ придет к равновесию подобно обычному рынку, а политические воздействия заменят первоначальное распределение благ. Однако его модель описана только в самом общем виде, и нелегко представить, как она будет действовать, например, в условиях социалистической демократии.

Доктор Говард Боуэн рассматривал голосование как спрос на коллективное потребление (пр.15). При этом подходе он полагал распределение дохода и издержек как заданные, а также вводил другие упрощающие допущения. Это очень похоже на обычную кривую рыночного спроса.

Найт также подчеркивал сходство между голосованием и рыночным механизмом в том, что оба включают коллективный выбор из ограниченного числа альтернатив (пр.16). Он указал на определенные различия, особенно на весьма вероятную тенденцию к неравенству при голосовании по сравнению с рыночным механизмом; однако эти различия преимущественно социопсихологического типа, а не формального, который единственно здесь и рассматривается.

Совсем недавно появились статьи профессора Дункана Блэка, посвященные различным аспектам теории политического выбора при определенных специальных допущениях. В этих работах подчеркивается сходство между проблемами рыночного и электорального выбора (пр.17). О его результатах будет подробнее сказано в разделе 7.2. Существует также литература по техническим вопросам выборов. Главным содержательным моментом здесь является то, что практически каждая конкретная схема, предлагаемая для выборов по одномандатным избирательным округам, оказалась имеющей определенные черты произвола. Очевидно, что проблема определения с помощью выборов одного победителя из нескольких кандидатов на должность, как, например, выборы президента США или выборы в законодательный орган, когда каждый округ представляет одного конгрессмена, является проблемой того же типа, что и выбор одной из нескольких альтернативных социальных программ; действительно, выбор между кандидатами является инструментом для выбора между вариантами политики.

1.2. Некоторые ограничения анализа

Как было указано выше, данное исследование ограничивается формальными аспектами коллективного выбора. Те аспекты, которые здесь не рассматриваются, удобно описать как игровые, в особенности с учетом двойного значения этого термина. Прежде всего, нами не рассматривается удовольствие от процесса решения как формы игры. Нет нужды подчеркивать очевидную важность желания играть и побеждать в игре как таковой и в экономическом поведении, и в политическом (пр.18). Несомненно, что такие соображения справедливы и должны быть приняты во внимание при определении "механики" коллективного выбора, но это находится за пределами данного исследования.

Другое значение термина "игра" — то, к которому привлекли внимание экономистов профессора фон Нейман и Моргенштерн (пр.19). Идея здесь, вообще говоря, в том, что как только будет установлен механизм осуществления коллективного выбора на основе индивидуальных предпочтений, индивидуумы сочтут выгодным с рациональной точки зрения представить свои предпочтения в ложном виде. Это произойдет либо потому, что такое искажение дает прямую выгоду (пр.20), либо чаще потому, что некоторый другой индивидуум настолько выиграет от искажения предпочтений первым индивидуумом, что он может дать такую компенсацию первому индивидууму, что это обоим будет выгоднее, чем ситуация, в которой каждый действует в точном соответствии со своими предпочтениями. Общеизвестно, что в избирательной системе, основанной на голосовании относительным большинством голосов, индивидуум, который на самом деле предпочитает кандидата маленькой партии, часто голосует за наименее нежелательного из кандидатов крупных партий, чтобы не расходовать "попусту свой голос". Даже в случаях, когда возможно построить процедуру агрегирования индивидуальных предпочтений в согласованное коллективное предпочтение, остается проблема определения правил игры так, чтобы индивидуумы на самом деле выражали свои истинные вкусы, даже когда они действуют рационально. Эта проблема связана с проблемой построения игр со справедливым дележом, у которых будут такие правила, что каждый индивидуум, играя рационально, сумеет получить заранее назначенную справедливую долю; в случае двух участников и равного раздела игра всем знакома: один делит пополам, а второй выбирает себе понравившуюся половину (пр.21).

Кроме игнорирования игровых аспектов проблемы коллективного выбора в данном исследовании будет принято допущение, что индивидуальные оценки рассматриваются как данные и не могут быть изменены характером самого процесса принятия решения. Это, разумеется, стандартная для экономической теории точка зрения (хотя нереальность подобного допущения подтверждалась такими авторами, как Веблен, профессора Дж.М. Кларк и Найт (пр.22)), а также классическое кредо либерализма (пр.23). Если индивидуальные оценки могут сами попасть под воздействие способа общественного выбора, то значительно труднее узнать, что понимается под предпочтением одного способа другому.

Наконец, допускается, что все индивидуумы в обществе рациональны. Точное значение этого предположения будет расширено в следующей главе.

Природа предпочтений и выбора

2.1. Измеримость и межличностная сравнимость полезности

Здесь будет принята та точка зрения, что межличностное сравнение полезностей не имеет смысла и что измеримость индивидуальной полезности, на самом деле, смысла, аналогичного сравнениям благосостояния, не имеет. Расхождения во мнениях по этому поводу хорошо известны, и едва ли требуется здесь их заново цитировать. В ходе споров по этому вопросу сторонники измеримости полезности не смогли привести никаких примеров экономического поведения, которые можно было бы объяснить с помощью их гипотезы и нельзя было бы объяснить с помощью кривых безразличия (пр.24). На самом деле, можно сказать, что единственное значение концепции полезности состоит в указании на реальное поведение, и если какое-нибудь поведение можно объяснить некоторой функцией полезности, то просто показать, что его можно так же хорошо объяснить любой другой функцией полезности, которая является строго возрастающей функцией от первой. Если у нас отсутствует измеримая в этом смысле полезность, тем более невозможно обеспечить межличностную сравнимость полезностей.

Недавно проблема измеримой полезности была вновь поднята в связи с результатами, полученными профессорами фон Нейманом и Моргенштерном (пр.25). Эти результаты многими были неверно поняты. Речь идет о предпочтениях не только между некоторыми альтернативами, но и между альтернативными распределениями вероятности. Сделав некоторые правдоподобные предположения относительно связей между предпочтениями для соответствующих распределений вероятности, эти авторы обнаружили, что существует индикатор полезности (единственный с точностью до линейного преобразования), обладающий свойством, что значение функции полезности для любого распределения вероятностей определенных альтернатив является математическим ожиданием полезности. Или, другими словами, существует (единственный с точностью до линейного преобразования) способ приписывания полезностей распределениям вероятности так, чтобы поведение описывалось утверждением, что индивидуум стремится максимизировать ожидаемую полезность.

Теорема, насколько я могу понять, не придает никакой особой этической значимости конкретной шкале полезности. Поскольку вместо использования шкалы полезности, открытой фон Нейманом и Моргенштерном, можно использовать квадрат этой шкалы; тогда поведение описывается утверждением, что индивидуум стремится максимизировать ожидаемое значение квадратного корня полезности. Это не отрицает пользу теоремы фон Неймана — Моргенштерна; речь в ней идет о том, что среди множества различных способов приписывания индикатора полезности предпочтениям из альтернативных распределений вероятности существует один метод (точнее, целый набор методов, являющихся линейными преобразованиями друг друга), обладающий свойством устанавливать законы рационального поведения особенно удобным образом. Это очень полезно с точки зрения развития дескриптивной теории экономического поведения в присутствии случайных событий, но не имеет ничего общего с рассуждениями о благосостоянии, в особенности, если нас интересует, в первую очередь, осуществление коллективного выбора между альтернативными решениями при отсутствии случайных элементов. Предположить иное значило бы утверждать, что распределение коллективного дохода должно регулироваться склонностью индивидуумов к азартным играм.

Проблему измерения полезности часто сравнивают с проблемой измерения температуры. Это сравнение очень уместно. Операционально температура тела представляет собой объем единицы массы идеального газа, приведенного в соприкосновение с этим телом (предполагается, что масса газа мала по сравнению с массой тела). Можно спросить, почему бы вместо этого не взять логарифм или, например, кубический корень от объема газа? Причина просто в том, что общий закон для газов принимает исключительно простой вид, когда температура определяется указанным образом. Более глубокого смысла здесь нет. Разумно ли говорить о том, что повышение температуры от 0 до 1° столь же значительно, как повышение температуры от 100 до 101°? Не больше можно сказать и об осмысленности сравнения предельных полезностей на разных уровнях благосостояния.

Даже если из каких-то соображений признать измеримость полезности для индивидуума, останется вопрос относительно агрегирования индивидуальных полезностей. В крайнем случае утверждается, что для индивидуума функция полезности определена единственным образом с точностью до линейного преобразования; и тогда остается выбор одного из бесконечного семейства показателей, чтобы представлять индивидуума, а агрегированные значения (скажем, сумма) зависят от того, как сделан выбор для каждого индивидуума. Вообще, видимо, нет способа измерения полезности, который обеспечил бы совместимость такого выбора (пр.26). Требуются определенные ценностные суждения, не выводимые из индивидуальных ощущений, чтобы обеспечить для различных индивидуумов соизмеримость полезностей, а кроме того, отдельная оценка для агрегирования в соответствии с любой выбранной математической формулой. Если отвлечься от математического аспекта данного вопроса, то кажется бессмысленным складывать полезность для одного индивидуума, т.е. психическую величину в его сознании, с полезностью для другого индивидуума. Даже у Бентама были сомнения по этому поводу (пр.27).

Поэтому мы будем в данной книге исходить из допущения, что поведение индивидуума при совершении выбора описывается шкалой предпочтений без какой бы то ни было кардинальной значимости, индивидуальной или межличностной.

2.2. Обозначения для предпочтений и выбора

В этом исследовании ради удобства будем изображать предпочтение символами, которые не являются привычными в экономической литературе, хотя приняты в математике и, особенно, в символической логике. Мы исходим из допущения, что имеется базовый набор альтернатив, который можно понятным образом представить тому, кто делает выбор. В теории потребительского выбора каждая из альтернатив представляет собой набор товаров; в теории фирмы каждая альтернатива является полным решением по всем входам и выходам; в экономике благосостояния каждая альтернатива является распределением товаров и трудовых ограничений. В общем случае альтернатива представляется вектором, однако в теории голосований альтернативами являются кандидаты. Эти альтернативы взаимно исключают друг друга, их обозначают строчными буквами х, у, z, ... В каждом случае выбирающий имеет перед собой подмножество S из множества всех возможных альтернатив и должен выбрать одну из них. Множество S представляет собой обобщение общеизвестной кривой допустимых альтернатив, таким образом, в теории потребительского выбора при совершенной конкуренции это будет бюджетная плоскость. Далее предполагается, что выбор будет делаться следующим образом: прежде чем определить множество S, выбирающий рассматривает по очереди все возможные пары альтернатив, например х и у, и для каждой пары принимает одно из трех решений: альтернатива х предпочтительней альтернативы у, альтернатива х безразлична по отношению к альтернативе у или альтернатива у предпочтительней альтернативы х. Решения, принятые для различных пар, по предположению совместны друг с другом, так, например, если альтернатива х предпочтительнее альтернативы у и альтернатива у предпочтительнее альтернативы z, тогда альтернатива х предпочтительнее альтернативы z. Аналогично, если альтернатива х безразлична по отношению к альтернативе у и альтернатива у безразлична по отношению к альтернативе z, то альтернатива х безразлична по отношению к альтернативе z. Исходя из такого упорядочения всех возможных альтернатив, выбирающий оказывается теперь перед определенным множеством S. Если в S одна альтернатива предпочтительнее всех остальных, то он выберет именно эту альтернативу. Пусть, однако, имеется подмножество альтернатив в множестве S, таких, что каждая из альтернатив этого подмножества предпочтительнее каждой альтернативы вне этого подмножества, в то время как альтернативы внутри подмножества безразличны по отношению друг к другу. Это случай, когда самая верхняя из кривых безразличия, имеющая общую точку с кривой альтернатив, имеет, по крайней мере, две общие с ней точки. В этом случае лучше всего сказать, что выбор, сделанный на множестве S, представляет собой подмножество. Сначала мы рассмотрим случай, когда данное подмножество состоит из единственного элемента.

Поскольку мы не ограничивали допустимый тип множеств, есть и третья возможность: в множестве S может не быть альтернатив, которые были бы предпочтительны или безразличны по отношению ко всем остальным. Иначе говоря, для каждой альтернативы из множества S существует другая, более предпочтительная. Например, пусть индивидуум предпочитает большее количество денег меньшему, и альтернативы в S включают любое целое число долларов. Или, если мы хотим ввести требование об ограниченности S, рассмотрим последовательность альтернатив 1/2, 2/3, 3/4, ..., 1—(1/n) ... долл. В данном случае нет никакого рационального выбора. Впрочем, это математическое замечание не играет никакой роли в настоящей работе.

Предпочтение и безразличие — отношения между альтернативами. Вместо того чтобы работать с двумя отношениями, несколько удобнее использовать единое отношение "предпочтительно или безразлично". Утверждение "альтернатива х предпочтительна или безразлична по отношению к альтернативе у" символически изображается так: xRy. Буква R сама по себе означает отношение, а также символизирует знание всех таких пар, для которых xRy. Из предшествующего обсуждения следует, что для любой пары альтернатив х и у либо альтернатива х предпочтительнее альтернативы у, либо альтернатива у предпочтительнее альтернативы х, либо они безразличны, т.е. мы предполагаем, что любые две альтернативы сравнимы (пр.28). Это допущение можно записать символически следующим образом.

Аксиома I. Для всех х и у или xRy, или yRx.

Отношение R, удовлетворяющее аксиоме I, будет называться связным. Отметим, что аксиома I по предположению выполняется как когда х = у, так и когда х отлично от у, поскольку мы обычно говорим, что альтернатива х безразлична по отношению к самой себе при любом х, и это подразумевает xRx (пр.29). Отметим, что слово "или" в формулировке аксиомы I не исключает возможности обоих сразу: xRy и yRx. Это слово означает, что, по крайней мере, одно из двух событий происходит обязательно, но могут произойти и оба.

Упомянутое выше свойство согласованности предпочтений между различными парами альтернатив можно сформулировать более точно: если альтернатива х предпочтительна или безразлична по отношению к альтернативе у и альтернатива у предпочтительна или безразлична по отношению к альтернативе z, то альтернатива х должна быть либо предпочтительна, либо безразлична по отношению к альтернативе z. Символически это записывается следующим образом.

Аксиома II. Для всех х, у и z xRy и yRz влечет за собой xRz.

Отношение, удовлетворяющее аксиоме II, называется транзитивным (пр.30). Отношение, удовлетворяющее обеим аксиомам I и II, называется слабым упорядочением или иногда просто упорядочением. Очевидно, что отношение, обладающее обоими этими свойствами, определяет ранжирование альтернатив. Прилагательное "слабый" относится к тому факту, что упорядочение не исключает безразличия, т.е. аксиомы I и II не исключают возможность, что для некоторых различных x и у одновременно выполняется xRy и yRx. Сильное упорядочение, с другой стороны, является ранжированием, при котором невозможны никакие безразличия (пр.31). Слабое упорядочение является обобщением понятия "больше или равно", применяемого к действительным числам; сильное упорядочение обобщает понятие "больше чем", применяемое к тем же объектам (пр.32).

Можно подумать, что две обсуждаемые аксиомы не характеризуют полностью понятие предпочтения. Например, нам кажется, что не только отношение R, но и отношения (строгого) предпочтения и безразличия транзитивны. Мы покажем, что подходящим определением предпочтения и безразличия в терминах R можно получить все обычно желаемые свойства предпочтений.

Определение 1. хРу означает, что не выполняется yRx.

Утверждение хРу читается как "х предпочитается у".

Определение 2. xIy означает xRy и yRx.

Утверждение xIy означает, что альтернатива х безразлична по отношению к альтернативе у. Ясно, что Р и I, определенные таким образом, соответствуют обычным понятиям предпочтения и безразличия.

Лемма 1.
(а) Для всех х выполняется xRx.
(б) Если хРу, mo xRy.
(в) Если хРу и yPz, то xPz.
(г) Если xIy и yIz, то xIz.
(д) Для всех х и у либо xRy, либо уРх.
(е) Если хРу и yRz, то xPz.

Все эти утверждения интуитивно самоочевидны из интерпретации указанных символов. Однако, возможно, хорошо бы привести наброски доказательств, чтобы показать, что аксиомы I и II действительно влекут за собой то, что хочется иметь относительно упорядочения альтернатив, и проиллюстрировать тип рассуждения, который будет далее использоваться.

Доказательство,
(а) Пусть в аксиоме I у = х; тогда для всех х либо xRx, либо xRx, что и означает xRx.
(б) Следует непосредственно из определения 1 и аксиомы I.
(в) Из хРу и yPz можно согласно (б) вывести xRy. Предположим, что выполнено zRx. Тогда из zRx и xRy можно вывести zRy с помощью аксиомы II. Однако из yPz и определения 1 следует, что не zRy. Следовательно, предположение zRx ведет к противоречию, поэтому можно утверждать, что не zRx или xPz по определению 1.
(г) Из xIy и yIz можно согласно определению 2 вывести xRy и yRz. Из аксиомы II тогда xRz. Также из xIy и yIz по определению 2 получаем zRy и yRx, что влечет за собой zRx, согласно аксиоме II. Поскольку одновременно xRz и zRx, то xIz по определению 2.
(д) Следует непосредственно из определения 1.
(е) Предположим zRx. Из zRx и yRz следует yRx, согласно аксиоме II. Но по определению 1, хРу подразумевает не yRx. Следовательно, предположение zRx ведет к противоречию. Поэтому не zRx, т.е. xPz.

Для ясности мы будем избегать использования термина "шкала предпочтений" или "тип предпочтений", когда рассматриваем R, поскольку хотим избежать путаницы с понятием предпочтения, обозначенным через Р. Будем считать R "отношением упорядочения" или "отношением слабого упорядочения", или, еще проще, "упорядочением" или "слабым упорядочением". Термин "отношение предпочтения" будет относиться к Р. В терминах отношения R можно переопределить понятие выбора, вспомнив, что вообще-то следует рассматривать выбор из данного множества альтернатив сам по себе как множество. Если S — множество допустимых альтернатив, которые мы назовем предъявлением (пр.33), то пусть C(S) является альтернативой или альтернативами, выбранными из множества S. C(S), разумеется, есть подмножество множества S. Каждый элемент множества C(S) должен быть предпочтительнее всех элементов S, не входящих в С(S), и безразличен по отношению ко всем элементам С(S); и потому, если х принадлежит C(S), xRy для всех у в S. С другой стороны, если действительно xRy для всех у из множества S и если х принадлежит S, тогда, согласно определению 1, не существует такого элемента z в S, что zPx. Следовательно, можно формально определить C(S) следующим образом.

Определение 3. C(S) — множество всех альтернатив х в S таких, что для каждого у в S xRy.

Следует отметить, что С(S) описывает функциональные отношения, при которых выбор приписывается каждому возможному предъявлению. Можно назвать это функцией выбора; она является прямым обобщением функции спроса, используемой в теории потребительского выбора при совершенной конкуренции, где множество S является бюджетной плоскостью.

Пусть {х, у} — множество, состоящее из двух альтернатив х и у. Предположим, что выполняется хРу. Тогда xRy, согласно лемме 1(б), и xRx, согласно лемме 1(а), т.е. х принадлежит С({х, у}). Но, согласно определению 1, поскольку хРу, а не yRx, следовательно, у не принадлежит множеству С({х, у}), т.е. С({х, у}) содержит единственный элемент x.

Предположим обратное, пусть С({х, у}) содержит единственный элемент х. Поскольку у не принадлежит С({х, у}), а также не выполняется yRx, то, по определению 1, имеет место хРу.

Лемма 2.
Необходимое и достаточное условие того, чтобы выполнялось хРу, состоит в том, что х является единственным элементом в С({х, у}).

В случае, когда не выполняется ни хРу, ни уРх, очевидно, что выполняется xIy, что эквивалентно утверждению, что С({х, у}) содержит как х, так и у. Если известно С({х, у}) для всех множеств из двух элементов, то полностью определены отношения Р и I, а потому и отношение R; но, согласно определению 3, знание отношения R полностью определяет функцию выбора C(S) для всех наборов альтернатив. Следовательно, одним из следствий допущения рационального выбора является то, что выбор в любом множестве может быть определен знанием выбора в двухэлементных множествах (пр.34).

Представление механизма выбора с помощью отношений упорядочения, как было предложено выше, имеет определенные преимущества для нашего анализа по сравнению с более привычными представлениями в терминах карт безразличия или функций полезности. Что касается карт безразличия, прежде всего, очевидным преимуществом является возможность рассмотрения альтернатив, представленных векторами из более чем двух компонент. Во-вторых, польза карт безразличия основана в значительной мере на допущении, что индивидуум желает большего значения каждой компоненты при всех остальных компонентах, остающихся без изменения; это допущение нужно для ориентации графика (пр.35). Поскольку данное исследование касается выбора социального состояния, у каждой альтернативы есть много компонент, которые могут оказаться желательными при одних обстоятельствах и не желательными при других. В-третьих, использование карты безразличия связано с допущениями непрерывности, которые излишне ограничительны для целей данной работы, поскольку ради рассмотрения этих задач как задач с неделимыми благами (что породило столько противоречий в области экономики благосостояния) необходимо предположить, что некоторые компоненты социального состояния являются дискретными величинами.

Что же касается функций полезности, прежде всего, существует формальная трудность: если допущений, сделанных относительно непрерывности упорядочения, недостаточно, может не существовать такого способа приписывания действительных чисел разным альтернативам, чтобы удовлетворялись обычные требования к функции полезности. В любом случае при простой замене выражения xRy на выражение U(x)>=U(y) структура всех доказательств не изменится, хотя элегантность всего рассказа пострадает от введения излишней функции U(x), смысл которой состоит исключительно в ее ординальных свойствах. Если нам интересны эти свойства, то, вероятно, лучше представить их непосредственно (пр.36).

2.3. Упорядочение социальных состояний

В данной работе объектом выбора являются социальные состояния. Самым точным определением социального состояния было бы полное количественное описание каждого типа товара в руках каждого индивидуума, а также труда, который должен предлагать каждый индивидуум, и ресурсов, инвестированных в каждый тип производственной деятельности и различные типы общественной деятельности, такие, как муниципальная сфера, дипломатическая деятельность и ее продолжение другими средствами. Предполагается, что у каждого индивидуума в группе есть определенное упорядочение всех мыслимых социальных состояний с точки зрения их желательности для него. Здесь не предполагается, что отношение индивидуума к различным социальным состояниям определяется исключительно наборами товаров, содержащимися в каждом из них. Предполагается только, что индивидуум упорядочивает все социальные состояния по любым стандартам, какие он сочтет уместными. Представитель вебленовского праздного класса мог бы упорядочить состояния исключительно по критерию соответствующего уровня доходов; приверженец равенства людей мог бы упорядочить их в соответствии с некоторыми представлениями о равенстве доходов. На самом деле, поскольку, как было упомянуто выше, некоторые компоненты социального состояния, рассматриваемые как вектор, представляют собой коллективную деятельность, чисто индивидуалистические допущения бесполезны при анализе таких проблем, как деление национального дохода между государственными и частными расходами. Обозначение, используемое здесь, позволяет делать превосходные обобщения. Нет необходимости говорить, что всякое обобщение имеет свою цену. Для анализа было бы доступно больше информации, если можно ограничить степень обобщения предварительным знанием природы индивидуальных упорядочений социальных состояний. К этой проблеме мы еще вернемся далее.

В общем, появляются различия между упорядочением социальных состояний, сделанным в соответствии с непосредственным потреблением индивидуума, и упорядочением, сделанным индивидуумом на основе общего представления о справедливости (или, возможно, его представлениями о денежной эмуляции) (пр.37). Можно считать первое упорядочение отражением вкусов индивидуума, а последнее — отражением его ценностей. Различие между ними никоим образом не является четким. Индивидуум с эстетическими чувствами безусловно получает удовольствие от того, что у его соседа ухоженный газон. В условиях свободного рынка такие чувства не играют непосредственной роли в коллективном выборе, но психологически они лишь чуть-чуть отличаются от удовольствия, получаемого от собственного газона. Конечно, интуитивно мы чувствуем, что в счет идут не все возможные предпочтения, какие могут быть у индивидуума, поскольку его предпочтения по вопросам, которые его не касаются, не должны приниматься во внимание. Не оспаривая это мнение, хочу подчеркнуть, что решение относительно того, какие предпочтения уместны, а какие — нет, само по себе является ценностным суждением и не может быть принято a priori. С формальной точки зрения невозможно различить неудовольствие индивидуума по поводу отравления его участка фабричным дымом и его крайнее негодование по поводу существования варварства в Центральной Африке. Немало индивидуумов в нашей стране будут рассматривать первое чувство как неуместное в отношении социальной политики и последнее — как уместное, хотя большинство скорее даст противоположную оценку. Я просто хочу подчеркнуть здесь, что если искать действительно общую теорию социального благосостояния, то следует рассматривать всю систему оценок, включая оценку ценностей.

Это — упорядочение в соответствии с оценками, принимающее во внимание все желания индивидуума, в том числе весьма важные желания, касающиеся общественных проблем, что в первую очередь относится к достижению социального максимума. Но рыночный механизм принимает во внимание только упорядочение в соответствии со вкусами. С точки зрения потребления это различие аналогично различиям между общественными и частными издержками производства, теория которых разработана профессором Пигу (пр.38).

Что касается обозначений, пусть R i, будет отношением упорядочения для альтернативных общественных состояний с точки зрения индивидуума i. Иногда, когда некоторые различные отношения упорядочения рассматриваются для одного и того же индивидуума, символы будут различаться добавлением верхних индексов. По отношению упорядочения R, вводится отношение (строгого) предпочтения Р i, и отношение безразличия I i. Если символ упорядочения используется с одним или двумя штрихами (т.е. R' i, R'' i), тогда и символы предпочтения и безразличия будут иметь штрих или два штриха соответственно.

Аналогично общество в целом будет условно рассматриваться как имеющее отношение коллективного упорядочения альтернативных социальных состояний, которое будет обозначаться отношением R, иногда со штрихом или двумя штрихами. Коллективное предпочтение и безразличие будут обозначаться через Р и I соответственно, причем штрих и два штриха ставятся, когда они добавлены к отношению R.

В данном анализе будет предполагаться, что индивидуумы рациональны. Это означает, что отношения упорядочения R i, удовлетворяют аксиомам I и II. Задача состоит в том, чтобы построить отношение упорядочения для общества в целом, которое так же отражало бы рациональный выбор, в связи с чем можно предполагать, что R удовлетворяет аксиомам I и II.

2.4. Отступление по поводу рациональности и выбора

Понятие рациональности, используемое на протяжении этого исследования, — центральное в современном экономическом анализе, и нельзя отрицать, что у него есть огромная интуитивная привлекательность, хотя более пристальный анализ обнаруживает трудности. Это можно проиллюстрировать рассуждением из арсенала современной теории игр и, в частности, теории игр двух лиц с нулевой суммой (пр.39).

Как было отмечено в разделе 2.2, одно из следствий допущения рациональности состоит в том, что выбор, который предстоит сделать из любого множества альтернатив, может быть определен выбором между парами альтернатив. Предположим, однако, ситуация такова, что индивидуум никогда не сталкивается с выбором между парами альтернатив; вместо этого множество всегда включает много альтернатив. Действительно, именно такая ситуация наблюдается в теории потребительского выбора при совершенной конкуренции, когда реальное множество всегда является целой линией или плоскостью. Но при определенных правдоподобных условиях не будет натяжкой рассматривать выбор из множества так, как если бы происходил выбор между парами альтернатив. По крайней мере теоретически осмысленным является представление о том, что выбор на самом деле осуществляется из пар альтернатив.

При поверхностном взгляде теория рационального поведения в игре двух лиц с нулевой суммой кажется действующей по такому же образцу. Можно представить каждого из игроков рассматривающим все возможные стратегии по очереди, упорядочивая их на основе минимальной прибыли (или максимальных потерь), ожидаемой ими в каждой ситуации, и тогда выбирающим наилучшую стратегию согласно наиболее высокой возможной оценке по шкале результатов. Но единственной причиной считать это решение рациональным является то, что, если оба игрока следуют ему, ни у одного не возникает побуждения изменить стратегию, даже если он узнает стратегию своего оппонента. В этом суть знаменитой теоремы о минимаксе и седловой точке. Обоснованность этой теоремы обусловлена тем, что каждый раз, когда мы допускаем множество чистых стратегий у игрока, мы также допускаем все их смеси, т.е. все распределения вероятностей этого множества чистых стратегий. Следовательно, множество допустимых стратегий, если оно содержит больше одной стратегии, автоматически содержит бесконечное их число. Нельзя даже концептуально вообразить выбор между двумя стратегиями, поскольку, если это ограничение имеет место, седловая точка существует только в особых случаях и упорядочение стратегий по минимуму прибыли не приведет к решению с описанными выше свойствами стратегии.

Таким образом, модель рационального выбора, основанная на попарном сравнении, кажется не вполне подходящей для случая рационального поведения в описанных игровых ситуациях. Кажется, что важным моментом, причем универсальным, является то, что при теоретическом представлении выбора между двумя альтернативами нельзя исключить как возможную альтернативу распределение вероятностей между ними. Невозможно предвидеть точную формулировку рациональности, ставящую последнюю точку в описании или следствиях такой переформулировки теории выбора в общем или теории коллективного выбора в частности, но, по крайней мере, к этой возможности следует привлечь внимание, поскольку парадокс, рассмотренный ниже, можно разрешить лишь с помощью более широкой концепции рациональности.

Многие авторы чувствовали, что допущение рациональности в смысле одномерного упорядочения всех возможных альтернатив абсолютно необходимо для теоретических построений в экономике. Например, профессор Ротшильд отмечает: "Пока экономические субъекты не будут действовать в соответствии с некоторым рациональным образцом, не будет возможна никакая общая теория о том, что последует из определенных посылок" (пр.40). Кажется, что в этой точке зрения нет логической необходимости, можно с тем же успехом построить экономическую теорию на других допущениях относительно структуры функции выбора, если факты требуют этого (пр.41). Труды школы институционалистов можно рассматривать отчасти как некоторую попытку такого рода, хотя и недостаточно систематического характера.

Концепция функций выбора, не выстраиваемых из упорядочений, кажется соответствующей "реальной иррациональности" Ротшильда, однако таким функциям спроса нет надобности быть результатом импульсивного поведения, они понятным образом возникают из полного осмысления, как и в теории игр, обсуждавшейся выше.

Функция общественного благосостояния

3.1. Формальная постановка задачи коллективного выбора

Я в значительной степени переформулирую предложенную профессором Бергсоном задачу о суждениях относительно общественного благосостояния (пр.42), чтобы привести ее в соответствие с принятой здесь терминологией. Различные аргументы его функции общественного благосостояния являются компонентами того, что я назвал здесь социальным состоянием, т.е. он, по существу, приписывает числовую общественную полезность каждому социальному состоянию. Тогда цель общества можно описать как максимизацию общественной полезности или общественного благосостояния с учетом возможных технологических и ресурсных ограничений. Иными словами, общество выбирает социальное состояние, обеспечивающее наибольшее общественное благосостояние в данном предъявлении (допустимом множестве). Как и относительно любого типа поведения, описываемого максимизацией, нет необходимости делать предположения относительно измеримости общественного благосостояния — значение имеет только существование коллективного упорядочения, удовлетворяющего аксиомам I и II. Как и ранее, для определения такого упорядочения нужно знать только относительные ранги каждой пары альтернатив.

Относительные ранги фиксированной пары альтернативных социальных состояний будут варьироваться, вообще говоря, при изменениях оценок, по крайней мере, некоторых индивидуумов; предположить, что ранжирование не меняется при изменениях индивидуальных предпочтений, означает предположить (в рамках традиционной социальной философии платоновского реалистического разнообразия), что существует объективное общественное благо, определенное независимо от индивидуальных желаний. Это общественное благо, как часто считают, может быть наилучшим образом понято с помощью методов философского исследования. Такая философия могла быть и была использована для оправдания власти элиты, светской или религиозной, хотя, как будет показано ниже, подобная связь не является логически необходимой.

Для современных номиналистских нравов бессмысленно допущение существования социального идеала в некоторой платоновской модели бытия. Утилитаристская философия Иеремии Бентама и его последователей пыталась вместо этого обосновать общественное благо благом индивидуумов. Гедонистическая психология, которая ассоциируется с утилитаристской философией, была использована для того, чтобы обосновать, что благо каждого индивидуума идентично его желаниям. Следовательно, общественное благо в некотором смысле должно быть составлено из желаний индивидуумов. Подобная точка зрения служит оправданием как политической демократии, так и экономики laissez-faire (пр.43); или по крайней мере экономической системы, где потребители свободно выбирают товары, а работники — род занятий.

Гедонистическая психология представлена здесь предположением, что индивидуальное поведение определяется отношениями индивидуального упорядочения Rt. Утилитаристская философия представлена утверждением, что для каждой пары социальных состояний выбор зависит от всех индивидуальных отношений упорядочения, т.е. зависит от R1, ..., Rn, где n — число индивидуумов в обществе. Иными словами, все отношения коллективного упорядочения R должны быть определены отношениями индивидуального упорядочения социальных состояний R1, ..., Rn. Мы не исключаем возможности, что некоторый или даже всякий выбор между парами социальных состояний, сделанный обществом, может быть независимым от предпочтений определенных отдельных индивидуумов, также как функция нескольких переменных может быть независима от некоторых из них.

Определение 4. Под функцией общественного благосостояния будет подразумеваться процесс или правило, ставящие в соответствие каждому набору индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn альтернативных социальных состояний (одно упорядочение для каждого индивидуума) коллективное упорядочение альтернативных социальных состояний R.

Что касается обозначений, то пусть R будет коллективным упорядочением, соответствующим набору индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn, причем соответствие устанавливается некоторой заданной функцией общественного благосостояния. Если к символу индивидуального упорядочения добавляется штрих или два штриха, то штрих или два штриха добавляются к символу соответствующего коллективного упорядочения.

Существует некоторое различие между понятием функции общественного благосостояния, используемым здесь, и принятым у Бергсона. Индивидуальные упорядочения, входящие как аргументы в функцию общественного благосостояния, согласно нашему определению относятся скорее к оценкам индивидуумов, чем к их вкусам. Бергсон предполагает, что индивидуальные оценки таковы, что порождают суждение об общественной ценности, ведущее к определенному правилу распределения производительных ресурсов, свободного времени и конечных продуктов в соответствии с индивидуальными вкусами. В действительности функция общественного благосостояния, описанная здесь, является методом отбора одной из тех функций общественного благосостояния бергсоновского типа, которая может быть применима здесь. Разумеется, я не исключаю возможности, что коллективный выбор, который будет построен, не окажется несовместным с конкретными ценностными суждениями, сформулированными Бергсоном. Но с формальной точки зрения разница между двумя определениями функции общественного благосостояния не слишком важна. По Бергсону, вкусы индивидуумов (у каждого относительно собственного потребления) представлены функциями полезности, т.е. в основном отношениями упорядочения; следовательно, бергсонова функция общественного благосостояния является также правилом приписывания каждому набору индивидуальных упорядочений коллективного упорядочения социальных состояний. Более того, как уже было указано, невозможно провести четкую границу между вкусами и оценками.

Особый тип функции общественного благосостояния — тот, что приписывает одно и то же коллективное упорядочение для каждого набора индивидуальных упорядочений. В данном случае, разумеется, общественный выбор совершенно независим от индивидуальных вкусов, что вновь приводит к платоновской ситуации.

Если мы не хотим требовать никакого предварительного знания о вкусах индивидуума до определения нашей функции общественного благосостояния, эта функция должна быть определена для каждого логически возможного набора индивидуальных упорядочений. Такая функция общественного благосостояния была бы универсальной в смысле применимости к любому сообществу. Этот идеал кажется подразумевающимся в социальной этике Бентама и порожденной ею экономике благосостояния.

Но не следует спрашивать себя, можно ли определить такую универсальную функцию общественного благосостояния. Пусть допустимый набор отношений индивидуального упорядочения является набором, для которого функция общественного благосостояния определяет соответствующее коллективное упорядочение, т.е. отношение, удовлетворяющее аксиомам I и II. Универсальная функция общественного благосостояния — это такая функция, для которой допустим любой набор индивидуальных упорядочений. Однако, опираясь на некоторые предварительные соображения, индивидуум может ощутить, что определенные типы индивидуальных упорядочений не должны быть допустимыми. Например, часто в экономике благосостояния принимается или подразумевается, что каждый индивидуум оценивает различные социальные состояния исключительно в соответствии со своим потреблением. Если бы это было так, нам следовало бы ограничиться требованием, чтобы функция общественного благосостояния была определена для тех наборов индивидуальных упорядочений, которые относятся к описанному типу, и только такие наборы должны быть допустимыми.

Однако мы предположим, что наше априорное знание об индивидуальных упорядочениях является неполным в том смысле, что есть, по меньшей мере, три из рассматриваемых альтернатив, для которых совершенно неизвестно заранее упорядочение их любым конкретным индивидуумом. Другими словами, каждый логически допустимый набор индивидуальных упорядочений некоторого предъявления S, состоящего из трех альтернатив, можно получить из некоторых допустимых наборов индивидуальных упорядочений всех альтернатив. Более формально это значит, что имеет место следующее условие.

Условие 1. Во множестве всех альтернатив имеется предъявление S, состоящее из трех альтернатив, такое, что для любого набора индивидуальных упорядочений T1, ..., Tn альтернатив, входящих в S, имеется такой допустимый набор индивидуальных упорядочений всех альтернатив R1, ..., Rn, что для каждого индивидуума i выполняется xRiy тогда и только тогда, когда выполняется xTiy для х и у в S.

Следует подчеркнуть, что условие 1 является ограничением формы функции общественного благосостояния, поскольку определением допустимого набора индивидуальных упорядочений вводится требование, чтобы для некоторой довольно широкой области наборов индивидуальных упорядочений функция общественного благосостояния порождала истинное коллективное упорядочение.

Мы хотим сформулировать еще несколько безусловно разумных условий относительно функции общественного благосостояния.

3.2. Положительная связь коллективных и индивидуальных оценок

Поскольку мы пытаемся описать общественное благосостояние, т.е. состояние блага, а не зла, следует сделать допущение, что функция общественного благосостояния такова, что коллективное упорядочение отвечает на изменения индивидуальных оценок позитивно, или по крайней мере не негативно. Следовательно, если одно из альтернативных социальных состояний повышает свой ранг или остается неизменным в оценке каждого индивидуума при отсутствии любых других изменений в упорядочении, мы ожидаем, что оно возрастает, или по крайней мере не убывает в коллективном упорядочении.

Это условие можно переформулировать следующим образом: допустим, что первоначально индивидуальные оценки заданы набором индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn и допустим, что соответствующее коллективное упорядочение R таково, что хРу, где х и у — две заданные альтернативы, а Р — отношение предпочтения, соответствующее R, т.е. определено по R в соответствии с определением 1. Пусть затем оценки изменяются таким образом, что для каждого индивидуума единственное изменение относительных рангов, если вообще такое изменение происходит, будет состоять в том, что х окажется выше на шкале, чем раньше. Если обозначить новые индивидуальные упорядочения (выражающие новый набор) через R'1, ..., R'n, а соответствующее им коллективное упорядочение через R', то естественно ожидать, что хР'у, где Р' — отношение предпочтения, соответствующее R'. Это естественное требование, поскольку ни один индивидуум не оценивает х ниже, чем раньше; если общество раньше ставило альтернативу х выше альтернативы у, безусловно, следует ожидать, что так оно и осталось.

Нужно еще формально выразить, что х будет не ниже по шкале каждого индивидуума при неизменности всех остальных сравнений. Последнюю часть этого условия можно выразить так: между парами альтернатив, среди которых нет х, отношение R'i, сохраняется для таких и только таких пар, для которых сохраняется отношение Ri; или в символах: для всех х' ≠ х и у' ≠ у, х'R'iy' тогда и только тогда, когда х'Riy'. Условие, что х будет не ниже в шкале R'i, чем было в шкале Ri, означает, что х предпочтительнее в шкале R'i, чем любая другая альтернатива, предпочтительнее которой она была в старой шкале (Ri), а также, что х предпочтительнее или безразлична по отношению к любой альтернативе, которой она раньше была безразлична. Два условия из последнего утверждения, вместе взятые, эквивалентны следующим двум условиям: 1) х предпочтительнее в новой шкале любой альтернативы, предпочтительнее которой эта альтернатива была раньше; 2) х предпочтительнее или безразлична в новой шкале любой альтернативе, которой раньше х была предпочтительнее или безразлична. Символически: для всех у' хRiy' влечет хR'iу' и хPiу' влечет хR'iу'. Теперь можно сформулировать второе условие, которому должна удовлетворять наша функция общественного благосостояния.

Условие 2. Пусть R1, ..., Rn и R'1, ..., R'n — два набора индивидуальных упорядочений, R и R' — соответствующие коллективные упорядочения, а Р и Р' — соответствующие коллективные предпочтения. Предположим, что для каждого i два набора индивидуальных предпочтений связаны следующим образом: для х' и у', отличных от данной альтернативы х, соотношение х'R'iу' выполнено тогда и только тогда, когда выполнено х'Riy'; для всех у' из соотношения xRiy' следует xR'iy'; для всех у' из хРiу' следует хР'iу'. Тогда, если хРу, то хР'у.

3.3. Независимость от посторонних альтернатив

Если считать C(S), функцию выбора, получаемую на основе коллективного упорядочения R, выбором, который общество действительно делает из множества предъявленных альтернатив S, тогда, как и в случае единственного индивидуума, выбор из любого фиксированного множества S должен быть независим от существования альтернатив вне S. Например, представим избирательную систему, где каждый индивидуум перечисляет всех кандидатов в порядке предпочтения, а затем на основании этих списков, согласно заранее установленным процедурам, определяется победитель. (Все реальные избирательные процедуры относятся к данному типу, хотя в большинстве случаев для определения победителя весь список не требуется.) Предположим, что проводятся выборы, имеется определенное число кандидатов, каждый индивидуум заполняет свой список предпочтений, и вдруг один из кандидатов умирает. Разумеется, в процедуре определения победителя коллективный выбор следует делать путем рассмотрения всех списков индивидуальных предпочтений, из которых будет вычеркнуто имя умершего кандидата, на основании упорядочения оставшихся имен. Таким образом, выбор, который предстоит сделать из множества S оставшихся в живых кандидатов, должен быть независимым от предпочтений индивидуумов в отношении кандидатов, не входящих в S. В противном случае результат выборов оказался бы зависящим от очевидно случайного обстоятельства — смерти кандидата до или после даты голосования. Поэтому можно требовать от нашей функции общественного благосостояния, чтобы выбор, сделанный обществом при заданных внешних условиях, зависел только от индивидуальных упорядочений альтернатив в этих условиях. Иными словами, если рассмотреть два таких набора индивидуальных упорядочений, что упорядочение именно этих альтернатив в заданном множестве каждым индивидуумом каждый раз одно и то же, то требуется, чтобы коллективный выбор в этом множестве был для индивидуальных оценок, заданных первым набором упорядочений, тем же, что и для заданных вторым набором упорядочений.

Условие 3. Пусть R1, ..., Rn и R'1, ..., R'n — два набора индивидуальных упорядочений, a C(S) и C'(S) — соответствующие функции коллективного выбора. Если для всех индивидуумов i, всех х и у в данном множестве S xRiy тогда и только тогда, когда xR'iy, то C(S) и C'(S) совпадают (независимы от посторонних альтернатив).

Разумность этого условия видна из рассмотрения возможных результатов при способе выбора, не удовлетворяющем условию 3, — методе голосования по упорядочению рангов, часто используемом в клубах (пр.44). При конечном числе кандидатов каждому индивидууму предлагается проранжировать их всех, т.е. обозначить того, кого они предпочитают в первую очередь, затем — во вторую и т.д. Поставим в соответствие каждому рангу некоторые веса так, что больший будет соответствовать большему рангу, а затем изберем того кандидата, у которого сумма весов будет наибольшей. В частности, предположим, что имеется три избирателя и четыре кандидата х, у, z и w. Пусть веса для первого, второго, третьего и четвертого рангов будут 4, 3, 2 и 1 соответственно. Пусть индивидуумы 1 и 2 ранжируют кандидатов в порядке х, у, z и w, а индивидуум 3 ранжирует их в порядке z,w,x и y. При данной избирательной системе будет избран х. Затем, конечно, если у будет удален из ранжирования, система, примененная к оставшимся, должна привести к тому же результату, особенно с учетом того, что в этом случае у ниже х согласно предпочтениям каждого индивидуума; но если у на самом деле удалить, указанная избирательная система приведет к равноценности x и z.

Аналогичная проблема возникает при ранжировании команд в соревнованиях, по существу индивидуальных (например забег, в котором принимает участие по нескольку бегунов от каждого института, где желательно проранжировать институты на основе индивидуального ранжирования бегунов). Эту задачу изучал профессор Е.В. Хантингтон (пр.45), который показал на примере, что обычный метод подсчета очков команд в этих обстоятельствах (метод, аналогичный упорядочению рангов при голосовании) несовместим с условием, аналогичным условию 3, которое Хантингтон назвал постулатом релевантности.

Условие независимости от посторонних альтернатив подразумевает, что в обобщенном смысле все методы коллективного выбора представляют собой разновидности голосования. Если S — множество {х, у}, состоящее из двух альтернатив х и у, то условие 3 утверждает, что выбор между х и у определяется только предпочтениями членов сообщества относительно х и у. Другими словами, если мы знаем, какие члены сообщества альтернативу х предпочитают альтернативе у, какие — безразличны, а какие — предпочитают альтернативу у альтернативе х, то мы знаем, какой выбор сделает это сообщество. Знание коллективного выбора, сделанного попарным сравнением, в свою очередь, определяет все коллективное упорядочение и вместе с ним функцию коллективного выбора C(S) для всех возможных предъявлений альтернатив. Условие 2 гарантирует, что голосование за определенную альтернативу обычно увеличивает уверенность в том, что эта альтернатива будет принята.

Условие 1 утверждает, на самом деле, что при изменении множеств и сохранении фиксированных индивидуальных упорядочений различные результаты выбора будут сохранять определенный тип согласованности. Условия 2 и 3, с другой стороны, предполагают фиксированное множество альтернатив и утверждают, что при определенных типах изменений индивидуальных оценок наличествует определенный тип согласованности различных результатов выбора.

3.4. Условие суверенитета граждан

Разумеется, мы хотим исходить из того, что индивидуумы в нашем обществе свободны в своем выборе, что эту свободу они выражают, варьируя оценки предложенных альтернатив. Иначе говоря, мы не хотим, чтобы функция общественного благосостояния была такой, что по самому своему определению препятствовала бы нашему предпочтению одной альтернативы некоторой другой.

Определение 5. Функция общественного благосостояния называется навязанной, если для некоторой пары различных альтернатив х и у, имеет место xRy для любого набора индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn где R — коллективное упорядочение, соответствующее R1, ..., Rn.

Другими словами, когда функция общественного благосостояния навязана, имеется пара таких альтернатив х и у, что сообщество никогда не сможет выразить предпочтение альтернативы у альтернативе х, какими бы ни были вкусы всех индивидуумов, даже если все индивидуумы предпочитают альтернативу у альтернативе х; на некоторые предпочтения наложено табу. (Отметим, что по определению 1 утверждение, что xRy сохраняется для всех наборов индивидуальных упорядочений, эквивалентно утверждению, что уРх не выполняется никогда.)

В начале этого исследования упоминалось о типе коллективного выбора, при котором решения принимаются в соответствии с традициями и обычаями. Можно спорить о том, отражает ли определение 5 суть интуитивной идеи выбора по традиции. В реальном случае ограничений коллективного выбора, налагаемых обычаями, предположительно ограничения не чувствуются как таковые, а являются, на самом деле, частью вкусов индивидуумов. Проблемы затрагивают психологические тонкости: можем ли мы говорить в данной ситуации об истинных желаниях индивидуумов, членов общества, которые конфликтуют с обычаями группы?

Если ответ на последний вопрос является утвердительным, то определение 5 действительно является корректной формализацией понятия обычая. Но нам нет нужды давать определенный ответ, и это представляется особенно удачным, поскольку изучение вопроса заведет нас очень далеко. Поскольку мы, конечно, исходим из того, что наша функция общественного благосостояния не должна быть навязанной согласно определению 5, то, конечно, стремимся, чтобы был возможен выбор, которого единодушно желает группа. Если определение 5 не является моделью выбора в соответствии с обычаем, то оно является, по крайней мере, моделью такого внешнего контроля, который бывает в колониях или на оккупированной территории.

Условие 4. Функция общественного благосостояния не должна быть навязанной.

Условие 4 более сильное, чем необходимо в представленном обсуждении. Некоторые решения, вроде выбора из данных пар альтернатив, могут показаться навязанными. На самом деле, по-настоящему требуется, чтобы существовало множество S из таких трех альтернатив, что выбор между любой парой не был ограничен заранее функцией общественного благосостояния. Это множество S должно иметь свойства, указанные в условии 1.

Если ответ на заданный ранее вопрос таков, что бессмысленно говорить о конфликте желаний индивидуумов с освященными нормами, то значит в данной ситуации заранее известно, что индивидуальные упорядочения удовлетворяют определенным ограничениям, т.е. некоторый выбор индивидуумов заранее предопределен. В таком случае мы могли бы хотеть, чтобы функция общественного благосостояния была определена только для наборов индивидуальных упорядочений, совместимых с известными социально-этическими нормами сообщества. Тогда это требование может включать ослабление условия 1. Этот момент подробнее будет рассмотрен в главе 7. Следует заметить, что условие 4 исключает ситуацию платоновского реализма, о которой шла речь в разделе 3.1. Оно полностью выражает ту идею, что всякий коллективный выбор определен индивидуальными желаниями. Вместе с условием 2 (обеспечивающим, чтобы определенность проявлялась в русле согласия с индивидуальными желаниями) условие 4 выражает ту же идею, что и бергсоновы фундаментальные оценки индивидуальных предпочтений, согласно которым из двух альтернатив, выбор между которыми безразличен всем индивидуумам, кроме одного, сообщество выскажет предпочтение одной или останется безразличным соответственно тому, как выскажется этот самый индивидуум (пр.46). Условия 2 и 4 вместе соответствуют общей концепции суверенитета потребителя; раз мы здесь обращаемся скорее к оценкам, чем ко вкусам, мы можем обращаться к ним как к выражающим идею суверенитета граждан.

3.5. Условие отсутствия диктатуры

Второй формой выбора общества, который не является коллективным по своему характеру, является выбор при диктатуре. В чистом виде он означает, что коллективный выбор должен быть основан исключительно на предпочтениях одного человека, т.е. если диктатор предпочитает альтернативу х альтернативе у, таково и предпочтение общества. Если диктатору безразличны х и у, возможно, он оставит выбор за некоторыми или всеми остальными членами общества.

Определение 6. Функция общественного благосостояния называется диктаторской, если существует такой индивидуум i, что для всех х и у xPiy предполагает хРу независимо от упорядочений R1, ..., Rn всех индивидуумов, за исключением i, где Р — отношение коллективного предпочтения, соответствующее R1, ..., Rn.

Если нас интересует построение коллективных способов выбора общества, то нам нужно исключить диктаторскую функцию общественного благосостояния.

Условие 5. Функция общественного благосостояния не должна быть диктаторской (отсутствие диктатуры).

Нельзя опять же утверждать, что определение 6 является истинной моделью реальной диктатуры. Обычно присутствует элемент согласия со стороны членов сообщества, или, по крайней мере, значительного их числа. Это можно формально выразить утверждением, что желания этих индивидуумов включают то, что коллективные решения принимал бы диктатор (пр.47) или, по крайней мере, им нравятся конкретные коллективные решения, принятия которых они ожидают от диктатора. Идея вкуса к диктатуре со стороны индивидуумов будет рассмотрена несколько подробнее в главе 7. Однако в любом случае условие 5 несомненно разумно наложить на форму функции общественного благосостояния.

Таким образом, мы накладываем пять очевидно разумных условий на построение функции общественного благосостояния. Эти условия являются, конечно, оценочными и могли бы быть вынесены на обсуждение. Вместе взятые они выражают доктрину суверенитета граждан и рациональность в самой общей форме, когда гражданам позволено иметь широкий спектр оценок. Вопрос, который возникает, — это построение коллективного упорядочения всех мыслимых альтернатив социальных состояний при любом заданном наборе индивидуальных упорядочений этих социальных состояний, причем способ построения соответствует пониманию суверенитета и рациональности граждан, как это отражено в условиях 1—5.

3.6. Суммирование полезностей

Может оказаться полезным рассмотреть в качестве предложенной функции общественного благосостояния сумму индивидуальных полезностей по Бентаму — Эджуорту, которая имеет очень длинную историю. Такая .форма функции, казалось бы, исключается всей природой настоящего подхода, поскольку в разделе 2.1 мы договорились отказаться от идеи кардинальной полезности, в особенности межличностно сравнимой полезности. Однако, возможно, сумма полезностей может быть переформулирована так, чтобы зависеть только от индивидуальных упорядочений, а не от индикаторов полезности. Это, вероятно, подразумевалось в рассуждениях Бергсона о функции общественного благосостояния (пр.48). Им представлен ряд неоспоримых аргументов против суммирования полезности, и он не находит, что эта форма противоречит фундаментальным оценкам индивидуальных предпочтений (см. раздел 3.4), хотя он должен был бы отметить возникающее противоречие, если не рассматривал бы эту форму как определяемую индивидуальными упорядочениями. Я вижу единственный способ добиться, чтобы сумма полезностей зависела только от кривых безразличия: так как каждому индивидуальному упорядочению соответствует бесконечное число показателей полезности, установим произвольное правило, приписывающее каждой карте безразличия один из этих показателей полезности; тогда сумма конкретных показателей полезности, выбранных по этому правилу, будет функцией индивидуальных упорядочений и может быть использована для установления коллективного упорядочения.

Очевидно, такое формирование суммы полезностей приведет к различным решениям в заданной ситуации с разными выборами правила. Для любого правила выполняется условие 1. Однако условия 2 и 3, по сути, предписывают, чтобы в некотором предъявлении сделанный выбор варьировался определенным образом при некоторых вариациях индивидуальных упорядочений. А раз так, ясно, что для того, чтобы сумма полезностей удовлетворяла условиям 2 и 3, необходимо, чтобы это правило было строго ограничено. На самом деле, общая теорема, устанавливаемая в главе 5, гарантирует, что единственные правила, при которых сумма полезностей будет удовлетворять условиям 2 и 3, если такие правила вообще существуют, приводят к нарушению либо условия 4, либо условия 5. Действительно, согласно теореме 3 в разделе 6.3, это утверждение будет верно, даже если предположить, что полезность для каждого индивидуума зависит исключительно от его собственного потребления. Я не сумел построить специального доказательства этого факта для суммы полезностей, существенно отличного от доказательства общей теоремы.

Однако может представлять интерес рассмотрение конкретного правила приписывания показателей полезности индивидуальным упорядочениям (пр.49). Предположим, что индивидуальные упорядочения для вероятностного распределения альтернатив подчиняются аксиоме фон Неймана и Моргенштерна (пр.50), тогда существует единственный (с точностью до линейных преобразований) способ приписывания полезностей альтернативам, который обладает свойством, что вероятностные распределения альтернатив будут упорядочены по значению ожидаемой полезности. Допустим, что для каждого индивидуума всегда существует одна альтернатива, которая предпочтительнее (или безразлична), чем остальные мыслимые альтернативы, и одна, по отношению к которой все остальные предпочтительнее (или безразличны). Тогда для каждого индивидуума показатель полезности может быть определен единственным образом в ранее определенном классе, единственном с точностью до линейных преобразований, приписыванием полезности 1 наилучшей из мыслимых альтернатив и 0 — наихудшей. Это приписывание значений предназначено для того, чтобы сделать индивидуальные предпочтения межличностно сравнимыми.

Нетрудно видеть, что предложенное приписывание значений полезности крайне неудовлетворительно. Предположим, что имеются уже три альтернативы и три индивидуума. Пусть для двоих альтернатива х имеет полезность 1, альтернатива y имеет полезность 0,9, альтернатива z — полезность 0; а для третьего полезность альтернативы у равна 1, альтернативы х равна 0,5 и альтернативы z равна 0. Согласно вышеуказанному критерию, у предпочтительнее х. Очевидно, что z — весьма нежелательная альтернатива, поскольку каждый индивидуум оценивает ее как худшую. Если z лишить права на существование, это не должно оказать никакого влияния на результат, но по предложенному правилу приписывания полезностеи альтернативам это вычеркивание приведет к тому, что для первых двух индивидуумов полезность 1 будет у альтернативы х и 0 будет у альтернативы у, в то время как у третьего индивидуума полезность 0 — у альтернативы х и 1 — у альтернативы у, так что упорядочение по сумме полезностеи приведет к предпочтению альтернативы х альтернативе у.

Простая модификация этого рассуждения показывает, что предложенное правило не приводит к функции общественного благосостояния с суммарной полезностью, совместимой с условием 3. Вместо вычеркивания z попробуем изменить индивидуальные упорядочения так, чтобы первые два индивидуума считали z безразличной по отношению к х, а третий считал z безразличной по отношению к у, в то время как относительное положение х и у не изменяется во всех индивидуальных упорядочениях. Тогда приписывание полезностеи х и у становится таким же, как и в случае вычеркивания z, так что снова выбор между х и у изменяется, что противоречит условию 3.

Вышеприведенные результаты оказываются зависящими от конкретного способа выбора единиц полезности. Но это неверно, хотя парадокс не так очевиден в других случаях. В общем случае дело в том, что выбор двух конкретных альтернатив для задания некоторых значений полезности (например 0 и 1) произволен, и эта случайность полностью отражается в невозможности обеспечить, чтобы соответствующая функция общественного благосостояния удовлетворяла всем указанным условиям.

Принцип компенсации

4.1. Выплата компенсации

Чтобы лучше разобраться в сложностях построения функции общественного благосостояния, рассмотрим еще одну предлагаемую форму — принцип компенсации. Этот термин используют для обозначения двух разных, хотя и связанных между собой, способов формирования коллективного выбора на основе индивидуальных упорядочений (пр.51). Один из них — суждение относительно существования такого способа выплаты компенсации, чтобы при изменении социального состояния у на состояние х и выплате компенсаций по определенному правилу каждый индивидуум предпочел результирующее состояние состоянию у (иными словами: каждый индивидуум либо предпочитает результирующее состояние состоянию у, либо остается безразличным к изменению, но есть, по крайней мере, один индивидуум, который действительно предпочитает результирующее состояние), тогда группа должна предпочесть состояние х состоянию у, если выплачивают компенсации.

С этой формулировкой, очевидно, не поспоришь, разве что с позиции философии систематического отказа людям в любых их желаниях. На самом деле, это довольно окольный путь выражения простой мысли. Существенно, что речь идет не о состоянии х перед выплатой компенсаций, а о состоянии, которое наступает в результате изменения от состояния у к состоянию х и получения указанной компенсации. Именно это последнее состояние предпочитается состоянию у, поэтому его и переобозначим как состояние х. На языке, который мы использовали, можно сказать, что хРу, если хRiу для всех i и хРiу, по крайней мере, для одного значения i, где Р — отношение коллективного предпочтения, соответствующего индивидуальным упорядочениям R1, ..., Rn. Если объединить это с утверждением, что xIy, если xIiy для всех i, тогда получаем просто теорему профессора Бергсона о фундаментальных оценках индивидуальных предпочтений (пр.52).

Определим теперь отношение xQy следующим образом:

(1) xQy означает, что для всех i xRiy.
Предполагается, что для всех i Ri — отношение слабого упорядочения и поэтому удовлетворяет аксиомам I и II. Согласно лемме 1 (а),

(2) для всех i xRix.
Из аксиомы II следует:

(3) для всех i из xRiy и yRiz следует xRiZ.
Из (2) и (1) ясно, что

(4) для всех х xQx.
Пусть дано xQy и yQz, тогда для каждого i, согласно (1), xRiy и yRiz, так что для каждого i согласно (3) xRiz. Но тогда из (1) xQz. Следовательно,

(5) для всех х, у и z из xQy и yQz следует xQz.

Ради удобства введем формальное определение отношений со свойствами (4) и (5).

Определение 7. Q называют квазиупорядочением, если
(а) для всех х xQx;
(б) для всех х, у и z из xQy и yQz следует xQz (пр.53).

Отметим, что по этому определению некоторые пары альтернатив можно сравнивать по данному квазиупорядочению, в то время как могут быть другие пары, которые не являются сравнимыми, т.е. такие, что не выполняется ни xQy, ни yQx.

Тогда будем говорить, что некоторое отношение Q, определяемое утверждением (1), является квазиупорядочением пространства альтернатив. Предположим, что в случае данного Q известно, что индивидуальные упорядочения R1, ..., Rn таковы, что xQy. Тогда, наверное, можно утверждать, что xRy, хотя и нельзя утверждать, что хРу, поскольку, например, может быть xQy, потому что хIiу для каждого i.

Предположим, что в случае отношения Q, определяемого условием (1), известно, что индивидуальные упорядочения таковы, что xQy, а не yQx. Согласно (1), это означает, что для всех i имеет место xRiy, и в то же время существует хотя бы одно i, для которого не выполняется yRiX. Согласно лемме 1(д), это означает, что существует, по крайней мере, одно i, для которого хРiу. Это допущение формы принципа компенсации, с которой мы начали. Разумно ввести требование, что при таких обстоятельствах выполняется хРу. Суммируя вышеизложенное, можно сказать, что отношение между Q и коллективным упорядочением R таково, что из xQy следует xRy, а выполнение xQy и невыполнение yQx подразумевает выполнение xRy и невыполнение yRx. Мы введем это как общее определение.

Определение 8. R называют согласованным с Q, если

(а) R — слабое упорядочение;

(б) Q — квазиупорядочение;

(в) для всех х и у из xQy следует xRy;

(г) для всех х и у из xQy и невыполнения yQx следует, что не вы полняется yRx.

Пусть некоторое квазиупорядочение Q, определяемое (1), известно как единогласное квазиупорядочение. Это зависит, разумеется, от конкретного множества индивидуальных упорядочений. Принцип компенсации, обсуждаемый в этом разделе, можно переформулировать следующим образом: для любого множества индивидуальных упорядочений соответствующее коллективное упорядочение согласовано с единогласным квазиупорядочением. Как было отмечено (см. пр.46 главы 3), этот принцип не выводится из условий 1—5 в их нынешнем виде, но мог бы выводиться, если сделать небольшое видоизменение условия 2.

Эта формулировка ставит следующую проблему: если х и у вместе принадлежат множеству S, имеет место xQy, но не выполняется yQx, тогда хРу, так что, по определению 3, у не будет принадлежать C(S). Следовательно, если мы смогли бы найти все альтернативы у из S, для которых существует такое х из S, что xQy и не выполняется yQx, то можно было бы исключить из рассмотрения все такие у при определении С(S); или, если мы смогли бы найти все альтернативы х, для которых не существует такого у, что yQx, но не выполняется xQy, то С(S) должно было быть среди таких альтернатив. Альтернативы х, обладающие этим свойством, можно назвать максимальными.

Изучение последней проблемы при определенных допущениях относительно природы S и индивидуальных упорядочений, действительно, является основным содержанием предмета, который иногда называют новой экономикой благосостояния (пр.54). Исследование в данном направлении опиралось на идею независимости этих результатов от оценок, за исключением самых очевидных. Хотя изучение максимальных альтернатив, возможно, является полезным введением в анализ определенных функций социального благосостояния, трудно представить, как рекомендации могут основываться только на знании максимальных альтернатив. Нет способа определить, на какой из максимальных альтернатив следует остановиться, более того, даже если нынешнее социальное состояние известно как немаксимальное, в том смысле, что известно несколько других альтернатив, которые лучше данного состояния, нет способа узнать, на какую из них следует поменять нынешнее состояние, так что группа оказывается в положении буриданова осла. Тем меньше надобности обсуждать непригодность новой экономики благосостояния как основы для коллективного выбора, поскольку этот вопрос был так хорошо рассмотрен профессором Самуэльсоном (пр.55).

Но можно пойти дальше Самуэльсона и усомниться в том, что изучение максимальных альтернатив, на самом деле, полезно в изучении тех аспектов коллективного выбора, которые непосредственно связаны с потребительским выбором. Ныне принятая доктрина в этой области состоит в том, что в социальном оптимуме предельная норма замещения между двумя товарами одинакова для всех потребителей. Это выводится из гипотезы о том, что каждый индивидуум ранжирует социальные состояния исключительно в соответствии с товарами, которые он получает при каждом из этих состояний. Но в главе 6 будет показано, что нельзя построить никакой функции социального благосостояния, совместимой с условиями 1—5, если допустить, что индивидуальные упорядочения социальных состояний строятся, как это было показано, в индивидуалистской манере, поскольку это именно такая ситуация, при которой оценки альтернативного распределения дохода, сделанные различными индивидуумами, являются особенно противоречивыми. Иначе говоря, нынешний анализ оптимальных социальных состояний применим именно тогда, когда он не может служить в качестве функции, перечисляющей коллективное упорядочение, от предварительного до полного. Этот довод будет еще рассмотрен в разделе 6.3.

Конечно, изучение оптимальных социальных состояний можно проводить на основе других допущений относительно вкусов индивидуумов. Но ясно, что необходимо сначала исследовать допущения относительно индивидуальных упорядочений, позволяющие построить удовлетворительные функции общественного благосостояния прежде, чем переходить к определению оптимальных социальных состояний.

Тот же довод при соответствующем исследовании оптимальных условий производства неприменим по причине того, что эти условия относятся к ресурсам, использование которых в альтернативных вариантах безразлично для каждого члена группы, за исключением косвенного влияния, поскольку производительность этих ресурсов при различных применениях варьируется (пр.56). Только это допущение действительно отличает оптимальные условия производства от условий обмена.

4.2. Возможности компенсации

Принципу компенсации было придано и другое значение, впервые введенное Калдором (пр.57): при выборе между двумя альтернативами х и у, если существует такой способ компенсации при состоянии х, что каждый может выгадать при результирующем состоянии с учетом компенсации при х по сравнению с их интересами при состоянии у (или каждый может, по крайней мере, не ухудшить своего положения по сравнению с состоянием у, а хотя бы один выгадывает при этом), тогда альтернатива х должна быть предпочтена альтернативе у, даже если компенсация на самом деле не производилась. При этом не утверждается, что принцип выбора, заданный вышеприведенным правилом, которое можно назвать принципом компенсации Калдора, непременно оптимален с более глубокой этической точки зрения, поскольку это не мешает распределению дохода при х быть совершенно несправедливым. Однако Калдор доказывает, что можно, по крайней мере, сказать, что х лучше, чем у с точки зрения агрегированного производства, оставляя проблему распределения для того, чтобы решить ее отдельно.

Принцип компенсации Калдора был активно поддержан профессором Хиксом и раскритикован господином Баумолем (пр.58). Последний приводил двоякие доводы: 1) принцип несет с собой неявное межличностное сравнение полезности, поскольку потенциальные (но не реальные) компенсации, используемые при вычислении, измеряются в денежной форме, а потому коллективная оценка денежной единицы считается одной и той же как для богача, так и для бедняка; 2) даже в казалось бы безобидном случае, когда каждый действительно выгадывает при альтернативе х по сравнению с альтернативой у, сказать, что х лучше, будет верно только при некоторых утилитаристских этических схемах. Последнее утверждение, как уже было показано, несомненно формально справедливо, если учесть связанную с ним оценку, но оценка, о которой идет речь, представляется в настолько обобщенном виде, что все будут вполне удовлетворены этим допущением. Это особенно справедливо, если осознать, что быть "в выигрыше" может означать функцию не только от собственного потребления индивидуума, но и от потребления других, и от социальной структуры в целом, как отмечает сам Баумоль в примечании.

Первое возражение кажется довольно туманным. Правда, что результат применения принципа Калдора будет таким же, как и при применении критерия сложения полезностей, когда предельная полезность реального дохода постоянна и не изменяется от индивидуума к индивидууму при допущении, что последнее условие осмысленно. Однако это утверждение не означает, что принцип компенсации Калдора предполагает межличностное сравнение полезности. Скорее принцип Калдора равносилен выбору показателей полезности для карт безразличия разных индивидуумов в соответствии с правилом, которое определяет свойства предельной полезности дохода (см. раздел 3.6). Разумеется, это означает, что принцип произволен в том смысле, что можно взять какое-то другое правило выбора показателей полезности. Например, вместо того, чтобы выяснять по поводу каждого индивидуума, какую по объему компенсацию (положительную или отрицательную) каждый индивидуум потребует в состоянии х, чтобы его благосостояние не пострадало по сравнению с состоянием у, а затем утверждать, что группа живет лучше при х, чем при у, если сумма этих компенсаций положительна, можно определить, какую долю (положительную или отрицательную) своего дохода при состоянии д: каждый индивидуум потребовал бы, чтобы считать себя столь же благополучным, как в состоянии у, и затем сказать, что группа живет лучше при состоянии х, чем при у, если сумма этих долей положительна (пр.59). Последнее правило имеет такое же отношение к гипотезе Бернулли о том, что предельная полезность дохода обратно пропорциональна доходу, как правило Калдора — к допущению постоянства предельной полезности дохода. По существу, возражение Баумоля тогда относится к произвольной природе принципа Калдора.

Но даже несмотря на то, что принцип компенсации Калдора является одним из бесконечного множества, все члены которого примерно равны в смысле "разумности", уместно задаться вопросом, можно ли, по крайней мере, отнести это множество к принципам социального действия, которые нельзя с определенностью отбросить по какой-то причине. Тут же приходит на ум вопрос о желательности поставленной для себя Калдором и Хиксом цели отделения производственного аспекта желаемых изменений социальных состояний от аспектов распределения. Любой конкретный выбор делается на основе обоих соображений. Даже если четко определенный смысл был бы определен для упорядочения социальных состояний в терминах производства, не будет ни в малейшей степени очевидно, какой толк был бы в этом упорядочении по отношению к желаемому упорядочению социальных состояний в терминах всех относящихся к нему факторов, включая элементы распределения наравне с производством.

Более глубоким возражением является то, что в мире, где присутствует более одного товара, нет недвусмысленного понимания для сравнения общего объема производства в любых двух социальных состояниях, кроме как в терминах некоторой меры оценки, позволяющей делать соизмеримыми различные товары, и обычно такая мера оценки должна зависеть от распределения дохода. Другими словами, нет смысла в валовом выпуске, независимом от распределения. В мире, где всего один товар, т.е. одно потребительское благо и никакого труда, разумеется, неоднозначность исчезает и принцип Калдора предписывает максимизировать валовый выпуск этого единственного товара (пр.60). Но в общем случае оказывается, что, если состояние у отвергается и заменяется состоянием х в соответствии с инструкциями, следующими из принципа Калдора, мера оценки, используемая в определении валового выпуска, отличается от того, какой она была раньше, и мы получаем, как говорит Баумоль, "мерило, которое гнется, растягивается и в конечном счете разлетается на куски в наших руках"(пр.61).

Этот довод хорошо ложится в рамки нашего формального рассмотрения. Принцип компенсации Калдора предлагается как функция общественного благосостояния в смысле определения 4. Рассмотрим отношение хСу, означающее - х выводится из у с помощью компенсационных платежей". Для данного множества индивидуальных упорядочений пусть R будет соответствующим коллективным упорядочением, Р — соответствующим отношением коллективного (строгого) предпочтения (см. определение 1), и Q — единогласным квазиупорядочением, введенным в предыдущем разделе. Тогда принцип Калдора утверждает, что хРу, если существует такая альтернатива х', что х'Сх, x'Qy, и не выполняется yQx'. Очевидно, что принцип Калдора, как он сформулирован, нарушает условие 3, поскольку если одновременно имеет место xQy и не выполняется yQx, выбор между х и у зависит от отношения Q между некоторыми альтернативами, не входящими в {х, у}, и альтернативой у, и потому зависит от индивидуальных упорядочений альтернатив, не входящих в {х,у}.

Однако можно переопределить понятия так, чтобы принцип Калдора не нарушал условия 3, и я полагаю, что это переопределение сохраняет смысл утверждений Калдора и Хикса. Можно постулировать, что отношение С, которое было введено, обладает следующими свойствами:

(1) для всех х имеет место хСх;

(2) для всех х и у из хСу следует уСх;

(3) для всех х, у и z из хСу и yCz следует xCz.

Значение этих свойств очевидно. Первое свойство нужно, чтобы х мог быть получен из самого себя при уплате каждым нулевой компенсации; второе — чтобы х мог быть получен из у путем уплаты индивидуумом i компенсации сi, (положительной или отрицательной), тогда у может быть получен из x: путем уплаты индивидуумом i компенсации - сi. Третье условие нужно для того, чтобы х мог быть получен из у путем уплаты индивидуумом i компенсации сi и у мог быть получен из z путем уплаты индивидуумом i компенсации с'i, тогда х мог быть получен из z путем уплаты индивидуумом i компенсации сi + с'i.

Отношение С, обладающее свойствами (1) — (3), часто называют эквивалентностью или отношением эквивалентности (пр.62). Отношение безразличия — один из примеров такого отношения. Как известно, отношение безразличия (или любая другая эквивалентность) может быть использовано для того, чтобы разделить все первоначальное пространство на такие взаимоисключающие подмножества, что каждый элемент любого из этих подмножеств находится в данном отношении с любым другим элементом этого подмножества, в то время как, если два элемента принадлежат к разным подмножествам, данное отношение между ними не выполняется. Например, отношение безразличия делит пространство товаров на области безразличия, имеющие предписанные свойства. Аналогично отношение С делит все возможные социальные состояния на такие взаимоисключающие подмножества, что выполняется хСу для любых х и у в одном и том же подмножестве, в то время как не выполняется ни хСу, ни уСх, если х и у не принадлежат одному и тому же подмножеству (пр.63). Любое из этих подмножеств можно назвать компенсаторно-эквивалентным классом. Самый смысл подхода Калдора — Хикса состоит в рассмотрении двух элементов из одного и того же компенсаторно-эквивалентного класса как находящихся на одном уровне производства. Выбор между такими элементами является вопросом этических норм, относящихся к распределению. Вместе с тем можно представить предварительные оценки, относящиеся к распределению, отбирающие из каждого компенсаторно-эквивалентного класса одно социальное состояние, которое будет считаться приемлемым. Тогда задачей принципа Калдора будет всего лишь ранжирование приемлемых альтернатив. Другие альтернативы в любом компенсаторно-эквивалентном классе существуют только для расчетов. Предположим, что мы интерпретируем условие 3 как требующее только того, чтобы выбор между любыми двумя приемлемыми альтернативами был инвариантным при изменении (индивидуальных упорядочений других приемлемых альтернатив (но необязательно при изменении индивидуальных упорядочений неприемлемых альтернатив или сравнений между неприемлемыми и приемлемыми альтернативами). Тогда условие 3 удовлетворяется этой ограниченной формой принципа Калдора (пр.64).

Но даже при этой модификации функция социального благосостояния, определенная принципом компенсации Калдора, не совместна с условием 1, т.е. коллективное упорядочение альтернатив, порожденное на основе индивидуальных упорядочений, не является даже согласованным ранжированием этих альтернатив в смысле удовлетворения аксиомам I и II. Как показал профессор Ситовски (пр.65), принцип Калдора допускает существование множества таких индивидуальных упорядочений, что одновременно хРу и уРх, что очевидно несовместно с существованием истинного коллективного упорядочения альтернативных состояний (пр.66).

В таком виде довод Ситовски применим даже в том случае, когда ранжировать предстоит всего две приемлемые альтернативы. Иначе говоря, существуют другие логически правдоподобные альтернативы, производные от одной или другой из двух данных альтернатив, получаемые в процессе компенсаций, но, как показано выше, предварительные оценки относительно распределения исключают их из рассмотрения, и в качестве единственного желаемого коллективного упорядочения рассматривается упорядочение двух данных альтернатив. Но в случае двух альтернатив для снятия противоречия немедленно предлагается простая модификация принципа Калдора. Можно назвать ее принципом компенсации Ситовски: xRy, если и только если существует такая альтернатива x', что

(4) х'Сх,
и

(5) x'Qy.
Допустим, что, как это обычно предполагается, для любых двух альтернатив х и у либо существует такой способ компенсации при х, при котором всем будет не хуже, чем при у, либо, если это не так, существует способ компенсации при у, при котором всем будет не хуже, чем при х. Это позволяет утверждать на основе (4) и (5), что

(6) для всех х и у либо xRy, лuбo yRx (пр.67).

Поскольку Q — квазиупорядочение, из определения 7 (а) следует, что

(7) для всех х xQx.
Из (7) и (1) следует, что (4) и (5) удовлетворяются, если оба х' и у равны х.

(8) Для всех х xRx.

Теперь предположим, что xRy и yRz. Поскольку существуют только две альтернативы, две из трех альтернатив x, y и z должны быть теми же. Если х = у, тогда из yRz следует xRz; если у = z, тогда из xRy следует xRz; если х = z, тогда xRz эквивалентно xRx, которое, как известно, истинно при (8).

(9) Для всех х, у и z из xRy и yRz следует xRz.

Согласно (6) и (9) отношение R, определяемое принципом компенсации Ситовски, является истинным отношением слабого упорядочения в случае, когда имеется только две приемлемые альтернативы. Отношение R является двойной проверкой, предложенной Ситовски и признанной Калдором (пр.68); таким образом, применяйте принцип Калдора в тех случаях, когда это не ведет к несостоятельности; а иначе две альтернативы называют безразличными.

Но истинную силу довода Ситовски можно ощутить, когда число приемлемых альтернатив становится больше двух, например, когда выбор идет не между свободной торговлей и каким-то определенным тарифом, а стоит задача проранжировать большое число различных возможных тарифных схем. Рассмотрим принцип компенсации Ситовски в этом случае. Если R — действительно отношение слабого упорядочения, тогда, согласно лемме 1(г), отношение безразличия, построенное из него по определению 2, транзитивно. Покажем с помощью примера, что безразличие по Ситовски не является транзитивным, и следовательно, принцип компенсации Ситовски не является функцией социального благосостояния, удовлетворяющей условию 1. Отметим, что из (4) и (5) безразличие между альтернативами х и у означает, что существует такой способ перераспределения благ при х, что каждый, по крайней мере, не проигрывает по сравнению с альтернативой у, а также способ перераспределения благ при у так, что каждый, по крайней мере, не проигрывает по сравнению с альтернативой х. Предположим, что имеется два товара, два индивидуума и три альтернативных социальных состояния, каждое состояние описывается количеством каждого товара у каждого индивидуума при этом состоянии. Описание приведено в таблице ниже.

Социальное состояние Индивидуум 1 Индивидуум 2
товар 1 товар 2 товар 1 товар 2
x 2,0 1,0 2,0 1,0
y 1,7 1,3 1,8 1,1
z 1,0 2,0 1,0 2,0

Допустим, что каждый индивидуум упорядочивает различные социальные состояния по количеству товаров, которое он получает при каждом из них. Пусть количество товара обозначается через (а, Ь), где а — количество первого товара и b — количество второго товара. Предположим, что карта безразличия индивидуума 1 такова, что (2,1; 1,0), (1,0; 2,0), (2,4; 0,7), (1,7; 1,3) и (2,0; 1,0) предпочитаются в этом порядке, а кривая безразличия, проходящая через (1,0; 2,0), не содержит точек, где количество второго товара меньше, чем 0,9. Аналогично предположим, что карта безразличия индивидуума 2 ранжирует наборы (1,4; 1,4), (1,0; 2,0), (1,6; 1,3), (1,8; 1,1) и (2,0; 1,0) в таком порядке и кривая безразличия, проходящая через (1,0; 2,0), не имеет на ней точек, у которых вторая координата меньше 1,2. Легко увидеть, что существуют карты безразличия с указанными свойствами и эти кривые безразличия непрерывны, выпуклы и убывают.

В состоянии у каждому индивидууму лучше или не хуже, чем в состоянии х, и потому тривиально доказывается, что существует перераспределение благ в состоянии у, при котором каждому не хуже, чем в состоянии х. С другой стороны, всего в состоянии х есть четыре единицы товара 1 и две единицы товара 2. Предположим, что мы перераспределим количество товаров в состоянии х следующим образом: дадим 2,4 единицы товара 1 и 0,7 единицы товара 2 индивидууму 1 и остальное (1,6 единицы товара 1 и 1,3 единицы товара 2) — индивидууму 2. Тогда обоим индивидуумам станет лучше, чем в состоянии у. Следовательно, существует перераспределение благ в состоянии х, при котором каждому, по крайней мере, так же хорошо, как в состоянии у, значит, согласно вышеприведенному определению безразличия по Ситовски, состояния х и у безразличны.

Глядя на шкалы предпочтения, видим, что обоим индивидуумам лучше в состоянии z, чем в состоянии у. С другой стороны, в состоянии у имеется 3,5 единицы товара 1 и 2,4 единицы товара 2. Перераспределим их следующим образом: (2,1; 1,0) — индивидууму 1 и (1,4; 1,4) — индивидууму 2. Тогда обоим индивидуумам лучше, чем при z. Поэтому снова состояния у и z безразличны.

Теперь будет показано, что состояния х и z не являются безразличными. Опять же очевидно, что каждый индивидуум предпочитает состояние z состоянию х. Чтобы индивидууму 1 было, по крайней мере, не хуже, чем при z, у него должно быть не менее 0,9 единицы второго товара, а у индивидуума 2 должно быть не менее 1,2 единицы. При любом распределении благ, при котором обоим индивидуумам, по крайней мере, так же хорошо, как в состоянии z, должно быть суммарно не менее 2,1 единицы второго товара, но в состоянии х всего 2 единицы второго товара. Следовательно, каждое возможное перераспределение в состоянии х ведет к ситуации, в которой, по крайней мере, одному индивидууму хуже, чем в состоянии z, значит, х и z не являются безразличными, и следовательно, безразличие по Ситовски не является транзитивным.

Сравнение состояний х и у иллюстрирует другую трудность, связанную с любой формой принципа компенсации, не предполагающей реальных выплат. Для каждого индивидуума возможно, что ему лучше при одном состоянии, чем при другом (в приведенном примере состояние у в сравнении с состоянием х), но при этом имеется такое перераспределение благ в состоянии х, что каждому не хуже, чем при очевидно лучшем состоянии у. Это жестко предполагает, что недостижимые перераспределения не относятся к делу.

Следует отметить, что доводы, приведенные здесь против принципа компенсации в различных формах, не зависят от утверждений, что этот принцип включает излишнюю "канонизацию" status quo. Последний довод относится к возражению по этическим причинам против определенных оценок, неявно подразумевающихся этим принципом, в то время как предыдущие доводы относились к тому, что оценки, определяющие принцип, противоречили возможности рационального выбора для группы в целом.

Общая теорема о возможности для функции общественного благосостояния

5.1. Число альтернатив

Из обсуждения конкретных функций общественного благосостояния в разделе 3.6 и в главе 4 следует, что будет очень трудно построить функцию общественного благосостояния, совместную с условиями 1—5. Пример принципа компенсации Ситовски, приведенный в разделе 4.2, показывает, что, вероятно, существует различие между случаем, где общее число ранжируемых альтернатив равно двум, и случаем, где их больше двух. Действительно, если имеются две альтернативы, такую функцию общественного благосостояния построить можно. Конечно, условие 1 должно в этом случае быть изменено. Мы теперь потребуем, чтобы каждое множество индивидуальных упорядочений двух рассматриваемых альтернатив порождало коллективное упорядочение, удовлетворяющее аксиомам I и II.

Определение 9. Под правилом большинства голосов понимается функция общественного благосостояния, в которой xRy сохраняется тогда и только тогда, когда число таких индивидуумов, что xRiy, по крайней мере, не меньше числа таких индивидуумов, что yRix.

Нетрудно видеть, что правило большинства голосов удовлетворяет условиям 1—5, когда альтернатив всего две. Чтобы показать, что условие 1 выполняется, нужно показать, что R, по определению, является слабым упорядочением, т.е. связно и транзитивно. Для удобства, пусть N(x, y) — число таких индивидуумов, что xRiy. Тогда

(1) xRy тогда и только тогда, когда N(x, у) >= N(y, х).
Очевидно, всегда либо N(x, у) >= N(y, х), либо N(y, х) >= N(x, у), так что

(2) для всех х и у имеет место xRy или yRx,
и согласно (1), R связно. Чтобы показать транзитивность, предположим, что выполняется xRy и yRz. Поскольку существуют лишь две альтернативы, два элемента из х, у и z равны. Как было показано в^елучае принципа компенсации Ситовски, вывод xRz тривиален, если х = у или у = г. Показать, что xRz в случае х = z, эквивалентно доказательству того, что xRx. Но, согласно (1), xRx эквивалентно утверждению N(x, х) >= N(x, х) и безусловно истинно. Следовательно, транзитивность выполняется. В сочетании с (2) это доказывает, что R — слабое упорядочение, так что

(3) правило большинства голосов удовлетворяет условию 1.

Теперь рассмотрим условие 2. Пусть Ri,..., Rn таковы, что хРу, т.е. имеет место xRy и не выполняется yRx. Согласно (1), это означает, что N(x, у) >= N(y, х), но не выполняется N(у, х) >= N(x, у), т.е.

(4) N(x,y)>N(y,x).
Пусть R'1,..., R'n — новое множество индивидуальных упорядочений, удовлетворяющих гипотезе условия 2, т.е. для х' ≠ х, у' ≠ х, х'R'iу' тогда и только тогда, когда х'Riy'; из xRiy' вытекает xR'iy'; и из xRiy' вытекает xP'iy' . Рассмотрим, в частности, два последних условия при у'=у.

(5) из xRiy следует xR'iy;

(6) из xPiy вытекает хР'iу.
Предположим, что для некоторого i выполняется yR'ix. По определению 1, не выполняется хР'iу, и потому, согласно (6), не выполняется xPiy. Следовательно, согласно лемме 1(д),yRix. Таким образом,

(7) из yR'ix следует yRiX,
Пусть N'(x, у) — число индивидуумов, для которых xR'iy; аналогично, N'(y, х) — число индивидуумов, для которых yR'ix. Согласно (5), для каждого индивидуума, для которого выполняется xRiy, выполняется также xR'iy; следовательно, N'(x, у) >= N(x, у). Аналогично из (7) N(y, x) >= N'(y, x). Из (4) N'(x, у) > N'(y, x) или N'(x, y) >= N(y, x) и не выполняется N'(y, x) >= N'(x, у). Согласно (1), это означает, что xR'y, но не выполняется yR'x или, по определению 1, хР'у. Здесь R' — коллективное упорядочение, соответствующее множеству индивидуальных упорядочений R1,..., Rn. Поэтому условие 2 выполнено.

Условие 3 (независимость от посторонних альтернатив) выполняется в данном случае тривиально, потому что единственное множество S, содержащее более одного элемента, содержит целиком множество всех альтернатив, состоящее из двух элементов. Если S содержит один элемент, С(S) — тот же самый элемент независимо от вкусов относительно альтернатив, не входящих в S; если S содержит два элемента, выбор C(S) безусловно определен индивидуальными упорядочениями для элементов из S, поскольку других нет.

Что же касается условия 4, предположим, что для любых х и у индивидуальные упорядочения таковы, что yPix для всех i. Тогда для каждого выполняется yRix, в то время как ни для кого не выполняется xRiy. Следовательно, N(y, х) >= N(x, у), но не выполняется N(x, у) >= N(y, x); таким образом, согласно (1), уРх, и потому, по определению 1, не выполняется xRy. Следовательно, не существует xRy независимо от индивидуальных упорядочений R1,..., Rn.

Наконец, что касается условия 5 (отсутствия диктатора), предположим, что имеется индивидуум i, удовлетворяющий условию определения 6. Назовем его 1. Предположим хР1у, а уР1х для всех i неравных 1. Тогда, по определению 1,xR1y и не выполняется xRiy для x неравных 1, так что N(x,y)=1. Также yRix для i неравных 1, так что N(y, х) >= 1 = N(x, у). Согласно (1), yRx, и поэтому, по определению 1, не выполняется хРу. Но согласно определению 6, из хР1у вытекает хРу. Следовательно, не может быть никакого диктатора, так что условие 5 выполнено.

Теорема 1 (о возможности для двух альтернатив). Если число альтернатив равно двум, правило большинства голосов является функцией общественного благосостояния, удовлетворяющей условиям 2—5, и приводит к коллективному упорядочению двух альтернатив для каждого множества индивидуальных упорядочений.

Теорема 1 является, в некотором смысле, логическим основанием англо-американской двухпартийной системы. Отметим, и это пригодится нам далее, что в приведенном выше доказательстве правило большинства голосов удовлетворяет условиям 2, 4 и 5 независимо от допущения о наличии всего двух альтернатив. Также верно, что это правило удовлетворяет условию 3 независимо от общего числа альтернатив. По определению 9 очевидно, что истинность или ложность утверждения xRy инвариантна при любых изменениях индивидуальных упорядочений, которое для каждого индивидуума сохраняет относительные позиции х и у. По определению 3, выбор C(S) полностью определен знанием истинности или ложности утверждения xRy для каждой пары х и у элементов S; следовательно, функция C(S) безусловно инвариантна при любом изменении индивидуальных упорядочений, которое сохраняет упорядочение внутри S.

Лемма 3.
Для любого пространства альтернатив правило большинства голосов является функцией общественного благосостояния, удовлетворяющей условиям 2—5.

Пример парадокса голосования, приведенный в разделе 1.1, показывает, что правило большинства не удовлетворяет условию 1, когда альтернатив больше двух. Теперь мы готовы рассмотреть построение функции общественного благосостояния для этого последнего случая.

Здесь и далее предполагается, что условие 1 выполняется в своей первоначальной форме.

5.2. Два индивидуума и три альтернативы

Для иллюстрации методов анализа и для введения в более общий случай рассмотрим сначала построение функции общественного благосостояния для двух индивидуумов, выражающих свои предпочтения относительно трех альтернатив. Из условий 1—5 будут выведены некоторые утверждения. Будет показано, что предположение о существовании функции общественного благосостояния, удовлетворяющей этим условиям, ведет к противоречию. Пусть х, у, z — три альтернативы, из которых делается выбор, например три возможных распределения товаров. Пусть х' и у' — переменные, представляющие возможные альтернативы, т.е. имеющие значения х, у и z. Пусть индивидуумы обозначены как 1 и 2, и пусть R1 и R2 — упорядочения альтернатив х, у, z, сделанные 1 и 2 соответственно. Пусть P1 и P2 — соответствующие отношения предпочтения; например, х'Р1у' означает, что индивидуум 1 строго предпочитает переменную х' переменной у'. Предполагается, что не существует априорной причины, из-за которой индивидуумы не будут упорядочивать альтернативы любым из возможных способов. Например, предполагая, что если имеется более одного товара, каждый индивидуум оценивает любое распределение товаров только в соответствии со своим предпочтением собственной доли (индивидуалистическое поведение). Если же ни одна из альтернатив не предоставляет ни одному из индивидуумов в совокупности больше каждого из товаров, чем любая другая альтернатива, то путем подходящего изменения вкусов относительно альтернативы каждый индивидуум может упорядочить их любым логически возможным способом (см., например, раздел 4.4).

Утверждение 1. Если х'Р1у' и х'P2у', тогда х'Ру'.

Таким образом, если оба индивидуума предпочитают переменную х' переменной у', тогда общество должно предпочесть переменную х' переменной у'.

Доказательство. Согласно условию 4, существуют такие упорядочения R'1, и R'2 для индивидуумов 1 и 2, что в соответствующем коллективном предпочтении выполняется х'Р'у'. Построим R"1 из R'1, поднимая х', если потребуется, на самый верх, оставляя относительные положения двух других альтернатив неизменными; сформируем таким же образом R"2 из R'2. Поскольку мы всего лишь подняли альтернативу х' в оценке каждого, оставив остальные неизменными, обществу следует по-прежнему предпочесть х' переменной у' в соответствии с условием 2, так что х'Р"у'. Но, по построению, оба индивидуума предпочитают х' переменной у' в упорядочениях R"1, R"2, и общество предпочитает х'переменной у. Поскольку по условию 3 коллективный выбор между х' и у' зависит только от индивидуальных упорядочений этих двух альтернатив, отсюда следует, что поскольку всякий раз оба индивидуума предпочитают х' переменной у', независимо от положения третьей альтернативы, общество предпочтет х' переменной y', что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Предположим, что для некоторых х' и у' всякий раз, когда выполняется х'Р1у' и уР2х', имеет место хР'у. Тогда всякий раз, когда выполняется х'Р1у', выполняется также х'Ру'.

Иначе говоря, если в данной ситуации воля индивидуума 1 возобладала над сопротивлением индивидуума 2, то взгляды индивидуума 1 безусловно возобладают в случае, когда индивидуум 2 безразличен или согласен с индивидуумом 1.

Доказательство. Пусть R1 — упорядочение, при котором х'Р1у', и пусть R2 — любое упорядочение. Пусть R'1 — то же самое упорядочение, что и R1, в то время как R'2 выводится из R2 низведением х' вниз при сохранении относительного положения двух других альтернатив. По построению х'P'1у и у'Р'2х'. По предположению х'Р'у, где Р' — отношение коллективного предпочтения, построенное из индивидуальных упорядочений R'1 и R'2. Теперь единственным различием между R'1, R'2 и R1, R2 является то, что х' располагается в R2 выше, чем в R1. Следовательно, по условию 2 (при взаимозамене R'i, и R"i), из х'Р'у' следует, что х'Ру'. Иначе говоря, всякий раз, когда R1, R2 таковы, что х'Р1у', тогда х'Ру'.

Утверждение 3. Если х'Р1у' и у'Р2х', тогда x'Iy'.

Таким образом, если у двух индивидуумов строго противоположные интересы при выборе между данными альтернативами, тогда общество будет безразлично к этим альтернативам.

Доказательство. Предположим, что утверждение ложно. Тогда для некоторых упорядочений R1 и R2 и некоторых пар альтернатив х' и у' получим х'Р1у', у'Р2х' и не выполняется x'Iy'. В этом случае либо х'Ру', либо у'Рх'. Предположим, что выполняется х'Ру'. Покажем, что это предположение ведет к противоречию; такое же рассуждение покажет, что предположение у'Рх' также ведет к противоречию.

Без потери общности можно предположить, что х — альтернатива х и у' = y. Тогда для рассматриваемых упорядочений хР1у, уР2х и хРу. Поскольку коллективный выбор между х и у зависит, по условию 3, только от выбора индивидуумов между х и у, у нас будет

(1) всякий раз, когда хР1у и уР2х, хРу.
Покажем, что (1) ведет к противоречию.

Предположим, что индивидуум 1 предпочитает х альтернативе у и у альтернативе z, в то время как индивидуум 2 предпочитает у альтернативе z и z альтернативе х. Индивидуум 2 тогда предпочитает у альтернативе х. Согласно (1), группа предпочитает х альтернативе у. Оба предпочитают у альтернативе z; согласно следствию 1, группа предпочитает x альтернативе z. Поскольку группа предпочитает x альтернативе у и у альтернативе z, она должна предпочесть х альтернативе z. Поэтому мы нашли такие упорядочения R1, R2, что xP1z, zP2x, однако xPz. Поскольку коллективный выбор между х и z зависит только от индивидуальных предпочтений по отношению к х и z,

(2) всякий раз, когда xP1z и zP2x, имеет место xPz.

Теперь предположим, что R1 — упорядочение у, х, z и R2 — упорядочение z, у, х. Согласно следствию 1, имеет место уРх; согласно (2), xPz, так что уРz. Согласно тем же рассуждениям, как и раньше:

(3) всякий раз, когда yP1z и zP2y, получаем yPz.

Если R1 — упорядочение у, z, х и R2 — упорядочение z, х, у, то из следствия 1 и условия (3) получим, что zPx и yPz, так что уРх. Следовательно,

(4) всякий раз, когда уР1х и хР2у, получим уРх.

Если R1 — упорядочение z, у, х и R2 — упорядочение х, z, у, тогда из следствия 1 и условия (4) получим, что zPy и уРх, так что zPx.

(5) Всякий раз, когда выполнено zP1x и xP2z, имеем zPx,

Если R1 — упорядочение z, x, у и R2 — упорядочение х, у, z, тогда, согласно (5), zPx и хРу, так что zPy.

(6) Всякий раз, когда zP1y и yP2z, выполняется zPy.

Из (1) следует с учетом следствия 2, что всякий раз, когда хР1у, выполняется хРу. Аналогично из (1) — (6) следует, что для любой пары альтернатив х', у' всякий раз, когда х'Р1у', имеет место х'Ру'. Таким образом, по определению 6, индивидуум 1 является диктатором. Это запрещено условием 5, так что (1) должно быть ложно. Таким образом, утверждение 3 доказано.

Теперь предположим, что индивидуум 1 имеет упорядочение х, у, z, в то время как у индивидуума 2 — упорядочение z, х, у. Согласно утверждению 1, имеет место

(7) хРу.
Поскольку yP1z, zP2y, то из утверждения 3 получим, что

(8) уIz.
Из (7) и (8) следует, что xPz. Но также имеет место xPz, zPx, откуда следует, что xIz, согласно утверждению 3. Не может быть, чтобы альтернатива х одновременно предпочиталась и была безразлична по отношению к z. Следовательно, предположение, что существует функция общественного благосостояния, совместная с условиями 1—5, привело к противоречию.

5.3. Доказательство общей теоремы о возможности

В ходе следующего доказательства мы будем предполагать, что рассматриваемая функция общественного благосостояния удовлетворяет условиям 1—5, и покажем, что это предположение ведет к противоречию. Без потери общности можно предположить, что все пространство является множеством трех альтернатив, упомянутых в формулировке условия 1. В этом множестве допустимы все наборы индивидуальных упорядочений, и нет необходимости обсуждать в каждом случае, допустим или нет данный набор. Таким образом, упорядочения, рассматриваемые в доказательстве, будут упорядочениями только из трех рассматриваемых альтернатив. Чтобы быть формально корректными и рассмотреть упорядочение всех альтернатив, можно заменить каждый набор упорядочений трех данных альтернатив соответствующим допустимым набором индивидуальных упорядочений, который упорядочивает три данные альтернативы таким же способом.

В дальнейшем через V будем обозначать множество индивидуумов. В частности, V' будет множеством, содержащим единственного индивидуума, и V" — множеством всех индивидуумов.

Определение 10. Множество V называется решающим для х против у, если х ≠ у и имеет место хРу для всех допустимых наборов индивидуальных упорядочений, в которых выполняется хРiу для всех i в V.

Это определение можно объяснить следующим образом. Пусть R обозначает набор индивидуальных упорядочений R1,..., Rn. Условие xPiy для всех i и V ограничивает рассматриваемый набор R, сужая диапазон изменения компонент из R, чьи подстрочные индексы входят в V, до упорядочений, имеющих данное свойство по отношению к х и у. Каждому R эта функция общественного благосостояния приписывает коллективное упорядочение R; в соответствии с этими предпочтениями у нас может быть, вообще говоря, хРу или xIy, или уРх. Предположим, что для всех R , для которых выполняется xPiy для всех i в V, результирующее R таково, что имеет место хРу. Тогда можно сказать, что V является решающим для х против у. На интуитивном уровне понятие решающего множества можно объяснить так: множество индивидуумов является решающим, если всякий раз, когда все они предпочитают альтернативу х альтернативе у, группа предпочитает альтернативу х альтернативе у вне зависимости от того, каковы предпочтения любых других индивидуумов относительно любых других альтернатив, кроме x или у. Обратите внимание, что множество может быть решающим для х против у и не быть при этом решающим для у против х. Например, в процессе ратификации сенатом договоров любое множество, состоящее из 64 сенаторов, является решающим для принятия решения (против отклонения), и любое множество, состоящее из 33 сенаторов, является решающим для отклонения решения (против принятия).

Следует подчеркнуть, что вопрос о том, является ли данное множество индивидуумов решающим относительно данной пары альтернативы х и у, определяется функцией общественного благосостояния и не изменяется вместе с изменением индивидуальных упорядочений.

Утверждение 1. Пусть R1, ..., Rn и R'1,..., R'n — два набора индивидуальных упорядочений, таких, что для данных х и у имеет место хР'iу для всех i, для которых xRiy. Тогда, если хРу, то выполняется хР'у, где Р и Р' — отношения коллективного предпочтения, соответствующие наборам R1,..., Rn u R'1,..., Rn соответственно.

Это утверждение расширяет условие 2. Если х поднимается или не опускается относительно у в упорядочениях для каждого индивидуума и реально поднимается (пр.69), когда х и у безразличны, и если сначала х предпочтительнее для коллектива, чем у, тогда х предпочтительнее у вне зависимости от изменений в предпочтениях относительно альтернатив, отличных от у.

Доказательство. В соответствии с предыдущими замечаниями предположим, что существуют всего три альтернативы. Пусть z — альтернатива, отличная от x и у. Для каждого i определим упорядочение R"i следующим образом:

(1) х'R"iу' тогда и только тогда, когда либо х'Riy' и х' ≠ z, либо у' = z.

Это означает передвижение z с его места в самый конец упорядочения Ri, а в остальном Ri, сохраняется без изменений. Легко убедиться, что R"i — упорядочение, т.е. удовлетворяет аксиомам I и II. Кроме того, для каждого i отношение R"i упорядочивает элементы х, у таким же образом, как и Ri, т.е.

(2) x'R"iy' тогда и только тогда, когда x'Riy' для х', у' в {х, у}.

Из (2) и условия 3 следует, что С({х, у}) = С"({х, у}), где C(S) и С"(S) — коллективный выбор из предъявления S, когда R1, ..., Rn и R"1, ..., R"n — соответствующие наборы индивидуальных упорядочений. Согласно гипотезе хРу, а из леммы 2 следует, что С({х, у}) содержит единственный элемент x. Следовательно, С"({х, у}) содержит единственный элемент х, или, согласно лемме 2, имеет место

(3) хР"у.

Определим индивидуальные упорядочения R*i, ..., R*n следующим образом:

(4) х'R*iy тогда и только тогда, когда либо хR'iy и х' ≠ z или у' = z.
Условие (4) аналогично (1). Из (1), (4) и определения 1 следует, что уР"iz и yP*iz для всех i. Следовательно,

(5) если х' ≠ х, у' ≠ х, хRiу тогда и только тогда, когда х'R*iy'.
Для всех i также имеет место xP"iz, xP*iz. Согласно (1), для всех i, таких что xR"iу выполняется xRiy. Согласно предположению, для таких i выполняется хР'iу, и потому, согласно (4), имеет место хР*iу. Следовательно,

(6) для всех y' из xR"iу' вытекает xR*iy';

(7) для всех у' из xPiу' вытекает хР*iу'.
Согласно (5) — (7) и (3), посылки условия 2 выполнены; следовательно, имеет место хР*у. Из (4) следует путем тех же рассуждений, что и выше, что С ({х, у}) = С'({х, у}), так что хР'у, что и требовалось доказать. Это доказательство, в принципе, очень простое. Цель введения вспомогательных упорядочений R"i и R*i состояла в сравнении двух наборов, которые удовлетворяли бы посылкам условия 2. В то же время, если рассматривать выбор между альтернативами х и у, отношения R"i, эквивалентны отношениям Ri, и отношения R*i эквивалентны отношениям R'i, что показано в последней части доказательства.

Утверждение 2. Если существует некоторый набор таких индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn, что для некоторых конкретных х имеет место xPiy для всех i в V и yPix для всех i, не входящих в V, причем в соответствующем отношении коллективного предпочтения выполняется хРу, тогда V является решающим для х против у.

Доказательство. Пусть R1,..., Rn — набор индивидуальных упорядочений, отвечающих условию

(8) хР'iу для всех i в V.

Чтобы показать, что V является решающим, необходимо, согласно определению 10, показать, что для каждого такого набора R1, ..., Rn соответствующее коллективное упорядочение R' таково, что хР'у. Но согласно (8) и предположению, что хР'iу для всех i в V и yPix для всех i, не входящих в V, следует, что xPiy всякий раз, когда xRiy. Согласно следствию 1, хР'у, что и требовалось доказать.

Смысл этого утверждения можно сформулировать примерно так: представьте наблюдателя, который видит, как индивидуумы записывают свои индивидуальные упорядочения и вручают эти списки управляющему органу, который формирует коллективное упорядочение на основе индивидуальных упорядочений в соответствии с функцией общественного благосостояния. Предположим далее, что этот наблюдатель замечает, что для определенной пары альтернатив х и у каждый индивидуум из некоторого множества V предпочитает альтернативу х альтернативе у, в то время как все, кто не входит в V, предпочитают альтернативу у альтернативе х, а полученное в результате коллективное упорядочение ставит х выше, чем у. Тогда наблюдатель должен сказать, не обращая внимания ни на какие другие аспекты индивидуальных и коллективного упорядочений, что V — решающее множество за х против у, т.е. что если вкусы изменятся таким образом, что все индивидуумы в V по-прежнему будут предпочитать альтернативу х альтернативе у (хотя они могут изменить ранжирование всех остальных альтернатив, а индивидуумы, не входящие в V, могут изменить свою шкалу полностью), тогда коллективное упорядочение все равно будет ставить x выше, чем у.

Утверждение 3. Для всех х и у таких, что х ≠ у, V" — решающее множество для х против у.

Таким образом, если каждый индивидуум предпочитает альтернативу х альтернативе у, то группа предпочитает альтернативу х альтернативе у.

Доказательство. Если мы поменяем местами х и у в определении 5, тогда условие 4 гласит, что существует такой набор индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn, что не выполняется yRx, где R — коллективное упорядочение, соответствующее набору индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn. Иными словами, согласно лемме 1(д), имеет место

(9) хРу.

Пусть R1, ..., Rn — такое множество индивидуальных упорядочений, что

(10) хР'iу для всех i.

Согласно (10), безусловно выполняется хР'iу для всех таких i, что xRiy. Тогда из (9) и утверждения 1 хР'iу. Поскольку это справедливо для любого набора упорядочений, удовлетворяющего (10), из определения V" следует, что хР'у для любого набора упорядочений такого, что хР'iу для i в V", уР'iх для i, не входящего в V" (т.е. ни для какого i). Согласно утверждению 2, V" — решающее множество для х против у.

Утверждение 4. Если V — решающее либо для х против у, либо для у против x, то V — решающее для х против z, где х, у и z — отличающиеся друг от друга альтернативы.

Вспомним, что V — множество, состоящее из единственного индивидуума. Данное следствие утверждает, что если единственный индивидуум является решающим для некоторой альтернативы х против другой альтернативы у, он является решающим для х против любой другой альтернативы, и что если он является решающим для любой альтернативы против данной альтернативы z, он является решающим для некоторой альтернативы против z. Это первое утверждение, в котором проявляется некоторый парадокс.

Доказательство. (а) Предположим, что V — решающее для х против у. Мы хотим доказать, что V' — решающее для х против любого z ≠ х.

Пусть индивидууму в V присвоен номер 1. Пусть R1, ..., Rn — набор индивидуальных упорядочений, удовлетворяющий условиям:

(11) xP1y

(12) yPiz для всех i,

(13) zPix для i ≠ 1.
Согласно (11), xPiy для всех i в V'; поэтому по определению 10 имеет место

(14) хРу,
где Р — отношение коллективного предпочтения, соответствующее набору индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn. Из (12) следует, что уРiz для всех i в V", так что согласно утверждению 3 и определению решающего множества, выполняется

(15) yPz.

Согласно условию 1 , отношение коллективного упорядочения удовлетворяет аксиомам I и II и, следовательно, лемме 1(в). Поэтому из (14) и (15) следует

(16) xPz.

Но из (11) и (12) следует хP1у и уР1z, так что xP1z или

(17) xPiz для всех i в V'.

Условие (13) можно записать как

(18) zPiX для всех i, не входящих в V'.
Согласно (16) — (18), посылки утверждения 2 удовлетворены, так что V' должно быть решающим для х против z. Таким образом, существует один набор отношений индивидуальных упорядочений, в котором все индивидуумы в V' (в данном случае один индивидуум) предпочитают альтернативу х альтернативе z, в то время как все другие индивидуумы предпочитают альтернативу z альтернативе х, и функция общественного благосостояния такова, что требует коллективного предпочтения альтернативы х альтернативе z. Этого достаточно, согласно утверждению 2, чтобы установить, что V' — решающее множество для х против z.

(б) Теперь предположим, что V — решающее для у против z. Пусть индивидуум в V имеет номер 1, и пусть Ri, ..., Rn — набор индивидуальных упорядочений таких, что

(19) хРiу для всех i,

(20) yP1z,

(21) zPix для i ≠ l.

Тогда, как и в части (а) доказательства, из (19) вытекает, что хРу, в то время как (20) влечет за собой yPz, так что выполняется xPz. Но из (19) и (20) xP1z, что в сочетании с (21) показывает, что предположения утверждения 2 выполнены, и поэтому опять V — решающее множество для х против z.

Утверждение 5. Для каждой пары альтернатив х, у и каждого одноэлементного множества индивидуумов V' утверждение, что V' — решающее множество для х против у, не верно.

Согласно этому утверждению, ни один индивидуум не может быть диктатором даже для одной пары альтернатив, т.е. не существует такого индивидуума, что при заданной функции общественного благосостояния группа автоматически предпочитает некую альтернативу х некоей альтернативе у всякий раз, когда это делает индивидуум, о котором идет речь.

Доказательство. Предположим, что утверждение ложно. Обозначим номером 1 единственный элемент из V.

Пусть у' — любая альтернатива, отличная от x и у. Тогда из предположения и утверждения 4 вытекает, что V' — решающее множество для х против У'. Поскольку это утверждение остается истинным для y ≠ у, можно сказать, что

(22) V' — решающее множество для х против любого у' ≠ х.

Пусть для фиксированного у' ≠ х альтернатива х' отлична от х и у'. Этот выбор возможен согласно условию 1 (так как существуют только три альтернативы). Тогда из (22) и утверждения 4 вытекает, что V' — решающее для х' против у'. Согласно (22), это утверждение остается верным при х' = х.

(23) V' — решающее для х' против у' при х' ≠ у' и у' ≠ х.
Выберем любое х' ≠ х и некоторое у", отличное как от х, так и от х'. Этот выбор возможен согласно условию 1. Тогда (23) выполняется, поскольку х', у" и х различны, что вытекает из утверждения 4. Если мы подставим х' вместо х, у" вместо у, и х вместо z, то получим, что

(24) V' — решающее множество для х' против х при х' ≠ х.
Условия (23) и (24) вместе можно записать:

(25) V' — решающее множество для любого х' против любого у' при х' ≠ у'.

Но, по определению 10, условие (25) утверждает, что для всех х' и у' (отличных друг от друга) х'Ру' всякий раз, когда х'Р1у'. По определению 6 это означает, что функция общественного благосостояния является диктаторской, что исключено условием 5. Следовательно, предположение, что утверждение ложно, ведет к противоречию с одним из условий, что и следовало доказать.

Теперь будет показано, что условия 1—5 ведут к противоречию. Для этого будут использованы предыдущие пять утверждений, вытекающие из этих условий. Пусть S — предъявление, составленное из трех отличающихся друг от друга альтернатив, которые встречаются в утверждении условия 1. Для каждой возможной упорядоченной пары х', у', такой, что х' и у' одновременно принадлежат S и х' ≠ у' (существует шесть таких упорядоченных пар), имеется, согласно утверждению 3, по крайней мере, одно множество индивидуумов, которое является решающим для х' против у'. Рассмотрим все множества индивидуумов, являющиеся решающими для некоторого х' в S против некоторого y' в S отличного от х'. Среди этих множеств выберем одно с самым малым числом индивидуумов; если это условие не определяет однозначно такое множество, выберем любое из этих решающих множеств, которое насчитывает не больше членов, чем такое решающее множество. Например, если среди всех множеств, которые являются решающими для некоторой альтернативы х' в S против некоторой (отличной от других) альтернативы у' в S, существует одно с двумя элементами и у всех других больше двух элементов, выберем именно это множество; с другой стороны, если существует два множества, решающих для некоторой альтернативы х' в S против некоторой альтернативы у' в S, в каждом из которых три элемента, в то время как все остальные решающие множества содержат более трех индивидуумов, выберем любое из этих трехэлементных множеств. Обозначим выбранное множество через V'. Оно является решающим для некоторой альтернативы в S против какой-то другой в S; с помощью соответствующего обозначения можно сказать, что V1 является решающим для х против у. S содержит всего одну альтернативу, отличную от х и у; назовем эту альтернативу z. Пусть k — число элементов в множестве V1. Обозначим индивидуумов, входящих в V1, номерами 1, ..., k и остальных индивидуумов номерами k + 1, ..., n. Пусть V' содержит единственного индивидуума 1, V2 — индивидуумов 2,..., k и V33 — индивидуумов k + 1, ..., n. Обратим внимание, что V3 может не содержать элементов. На основании построения V1 можно заключить, что

(26) V1 — решающее множество для х против у,

(27) любое множество, являющееся решающим для некоторой альтернативы в S против некоторой другой альтернативы в S, содержит, по крайней мере, k элементов.

По построению V2 содержит k - 1 элементов. Следовательно, из (27) вытекает, что

(28) V2 не является решающим для любой альтернативы в S против любой другой альтернативы в S.

Утверждение 5 эквивалентно тому, что если V' содержит в точности один элемент, тогда

(29) V' не является решающим множеством для любой альтернативы против любой другой альтернативы.

Пусть R1, ..., Rn — такой набор индивидуальных упорядочений, что

(30) для i в V' имеет место хРiу и yPiz,

(31) для i в V2 имеет место zPix и xPiy,

(32) для i в V3 имеет место yPiz и zPix,

Из условий (30), (31) и определений V1, V2 и V' следует, что xPiy для всех i в V1. Из (26) следует, что

(33) хРу,
где Р — отношение коллективного предпочтения, соответствующее R1, ..., Rn. Согласно (31) и тому, что Ri — отношение слабого упорядочения и, следовательно, транзитивно, получаем:

(34) zPiy для всех i в V2.
Согласно (30) и (32), имеем

(35) yPiz для всех i, не входящих в V2.

Предположим, что выполняется zPy. Тогда из (34), (35) и утверждения 2 можно предположить, что V2 — решающее множество для у против z, но это противоречит (28). Следовательно, zPy не выполняется или имеет место

(36) yRz,
где R — коллективное упорядочение, соответствующее R1, ..., Rn, откуда было построено отношение предпочтения Р. По условию 1, отношение R — отношение слабого упорядочения, обладающее всеми обычными свойствами, которые приписываются шкалам предпочтения, включая транзитивность. Следовательно, из (33) и (36) следует

(37) xPz.
Согласно (30), из транзитивности Ri следует, что

(38) xPiz для i в V',
в то время как из (31) и (32) следует, что

(39) zPix для i, не входящих в V'.
Согласно условиям (37) — (39) и утверждению 2, получим, что V' — решающее множество для х против z. Но это противоречит условию (29). Таким образом, мы показали, что условия 1—5, взятые в совокупности, приводят к противоречию. Иными словами, если допустить, что наша функция общественного благосостояния удовлетворяет условиям 2 и 3, а далее предположить, что условие 1 сохраняется, т.е. существуют, по крайней мере, три альтернативы, которые индивидуумы могут упорядочить любым способом и все равно получать коллективное решение в виде упорядочения, тогда должно быть нарушено либо условие 4, либо условие 5. Условие 4 утверждает, что функция общественного благосостояния не является навязанной; условие 5 утверждает, что она не является диктаторской (пр.70).

Теорема 2 (общая теорема о возможности). Если существуют хотя бы три альтернативы, которые члены группы вольны ранжировать любым способом, тогда каждая функция общественного благосостояния, удовлетворяющая условиям 2 и 3 и приводящая к коллективному упорядочению, удовлетворяющему аксиомам I и II, должна быть либо навязанной, либо диктаторской .

Теорема 2 показывает, что, если не было сделано предварительных допущений относительно природы индивидуальных упорядочений, не существует способа голосования, который обходил бы парадокс голосования, рассмотренный в разделе 1.1, — не помогут ни голосование правилом относительного большинства, ни одна из схем пропорционального представительства, какой бы изощренной она ни была. Аналогично рыночный механизм не дает рационального коллективного выбора.

5.4. Интерпретация общей теоремы о возможности

Интерпретируем теорему 2 с помощью изучения смысла условий 1—5. В частности, требуется, чтобы коллективное упорядочение было построено из индивидуальных упорядочений и чтобы коллективные решения о выборе между двумя альтернативами были независимы от желаний индивидуумов относительно любых альтернатив, отличных от двух данных (условия 1 и 3). Эти условия, вместе взятые, служат для исключения межличностных сравнений коллективной полезности либо в какой-то форме прямого измерения, либо сравнением с другими альтернативными социальными состояниями; доводы в пользу этой позиции приведены в разделе 2.1. Поэтому теорема 2 может быть переформулирована следющим образом.

Если мы исключим возможность межличностных сравнений полезности, тогда единственный удовлетворительный способ перехода от индивидуальных вкусов к коллективным предпочтениям, который был бы определен для широкого диапазона наборов индивидуальных упорядочений, будет либо навязанным, либо диктаторским.

Слово "удовлетворительный" в вышеприведенном утверждении значит, что функции общественного благосостояния не отражают индивидуальные желания негативно (условие 2) и что результирующие коллективные вкусы будут представлены упорядочением, имеющим обычные свойства рациональности, которые приписывают индивидуальным упорядочениям (условие 1 аксиомы I и II).

Исходя из интерполяции условий, относящихся к функции общественного благосостояния в главе 3, можно перефразировать этот результат следующим образом: если оценкипотребителей можно представить широким диапазоном индивидуальных упорядочений, доктрина суверенитета избирателей несовместима с доктриной коллективной рациональности.

Если мы хотим сделать суждения относительно общественного благосостояния зависящим от оценок всех индивидуумов, т.е. не являющимися навязанными или диктаторскими, тогда нам нужно ослабить некоторые из требуемых ограничений. Мы по-прежнему сохраним отсутствие осмысленного межличностного сравнения полезностей и условия, связанные со словом "удовлетворительный" (пр.71). Единственное условие, которое остается для отбрасывания — это то, которое утверждает, что метод построения коллективного упорядочения должен правильно работать для широкого диапазона наборов индивидуальных упорядочений. Иначе говоря, теперь будем заранее предполагать, что индивидуальные упорядочения R1, ..., Rn для социальных действий удовлетворяют определенным условиям, более ограничительным, чем допускаемые условием 1. Требуется найти функцию общественного благосостояния, которая будет приемлемой для всех наборов индивидуальных оценок, совместных с этими ограничениями, но не обязательно приемлемой или даже определенной для других типов индивидуальных оценок. Оставшаяся часть этого исследования будет посвящена рассмотрению возможностей в этом направлении.

Предположения о поведении индивидуума

6.1. Формулировка предположений

Одной из важных возможностей является ограничение шкал индивидуальных предпочтений двумя условиями, которые в действительности практически неизменно предполагаются в трудах по экономике благосостояния: 1) каждое индивидуальное сравнение двух альтернативных социальных состояний зависит только от товаров, которые получает индивидуум (и труда, который он затрачивает) в этих двух состояниях, т.е. он безразличен по отношению к любым двум социальным состояниям, при которых его потребление, сбережения и досуг одинаковы или, по крайней мере, безразличны для него (пр.72); 2) при сравнении двух ситуаций, в одной из которых он получает, по крайней мере, столько же каждого товара (включая досуг и сбережения, рассматриваемые как товары) и больше хотя бы одного товара, чем в другой ситуации, индивидуум предпочтет первую ситуацию. Однако можно показать, что в мире, где больше одного товара, эти ограничения не достаточны для устранения парадокса.

Ситуация, которую мы хотим формализовать, — это такая ситуация, при которой заранее известна часть выбора (но не весь выбор) индивидуума. О некоторых парах х, у известно, что х предпочтительнее, чем у; о некоторых известно, что х безразличен по отношению к у. Это можно перефразировать так: для некоторых пар известно, что альтернатива х более предпочтительна или безразлична по отношению к у; случай, когда х безразлична по отношению к у, включается в высказывание, что альтернатива х более предпочтительна или безразлична по отношению к у, и альтернатива у более предпочтительна или безразлична по отношению к х. Далее мы полагаем, что если известно, что альтернатива х более предпочтительна или безразлична по отношению к у, но не известно, что х безразлична по отношению к у, тогда считается, что х более предпочтительна, чем у. Именно это, на самом деле, понимается под истинным упорядочением, знание которого задается предположениями о поведении индивидуума. Отношение известного предпочтения или безразличия с очевидностью транзитивно, но не является связным, поскольку, например, оно не говорит нам, как индивидуум сравнивает две альтернативы, одна из которых обещает ему больше одного товара, чем другого, а вторая — больше второго товара, чем первого. С другой стороны, можно с уверенностью сказать, что любая альтернатива известна как предпочтительная или безразличная по отношению к себе самой. Сравнение с определением 7 показывает, что отношение "известного предпочтения или безразличия" является квазиупорядочением. Более того, если для любого индивидуума Ri — его упорядочение, a Qi — квазиупорядочение, выражающее это знание об Ri, порожденное предположениями о поведении индивидуума, тогда вышеуказанные замечания вместе с определением 8 показывают, что Ri должно быть согласовано с Qi.

Отметим также, что квазиупорядочение социальных альтернатив, которое определяется индивидуалистскими предположениями, различно для разных индивидуумов, поскольку каждый индивидуум ранжирует имеющиеся альтернативы в соответствии с тем, что он получает от них, и альтернатива, которая предоставляет каждого товара больше, чем вторая, одному индивидууму может предоставлять меньше каждого товара, чем другому.

Формально можно сказать, что имеется n квазиупорядочений Q1, ..., Qn и известно заранее, что отношения индивидуального упорядочения R1, ..., Rn согласованы с квазиупорядочениями Q1, ..., Qn соответственно. Если это знание доступно перед построением функции общественного благосостояния, может показаться излишним требование, чтобы функция общественного благосостояния была так определена, чтобы задавала коллективное упорядочение для множества индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn, где для некоторого i отношение Ri не является согласованным с Q. Следовательно, условие 1 можно заменить следующим условием.

Условие 1'. Допустимые множества отношений индивидуального упорядочения R1, ..., Rn — это именно те, для которых отношения Ri согласованы с Qi для каждого i.

6.2. Теорема о возможности при индивидуалистских предположениях

Из теоремы 2 ясно, что условие 1' несовместно с условиями 2—5, если допустимые множества индивидуальных упорядочений не будут ограничены более строго условием 1', чем условием 1. Пусть S — множество из трех альтернатив относительно упорядочения, в котором ни одно из известных квазиупорядочений не говорит нам ничего; т.е. предположим, что для каждого индивидуума i и для каждой пары х, у отличных друг от друга альтернатив в S не выполняется xQiy. Согласно гипотезам о поведении индивидуума, обсужденным выше, примером такого множества было бы множество из трех альтернативных распределений такого фиксированного запаса товаров, что для каждой пары распределений одно предоставляет любому данному индивидууму больше одного товара, в то время как второе распределение предоставляет больше другого товара.

Мне интуитивно ясно, что ограничение индивидуальных упорядочений, согласованное с квазиупорядочениями Qi вовсе не является ограничением для множества S. Пусть Т1, ..., Тn — любое произвольное множество из n упорядочений множества S. Для каждого i существует индивидуальное упорядочение Ri которое согласовано с Qi и совпадает с Т, на множестве S; строгое доказательство этого утверждения содержится в лемме 4, доказанной в разделе 6.3. Множество индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn является допустимым согласно условию 1'. Но тогда условие 1 удовлетворено; таким образом, можно применить теорему 2, откуда следует, что условия 2—5 не могут быть выполнены.

Теорема 3. Если Qi, ..., Qn —множество квазиупорядочений, для которого существует множество S, содержащее, по крайнее мере, три такие альтернативы, что для всех i и всех х и у в S, где х ≠ у, не выполняется xQiy, тогда каждая функция общественного благосостояния, удовлетворяющая условию 1' и условиям 2 и 3, является либо навязанной, либо диктаторской.

Следствие (теорема о возможности для индивидуалистских предположений). Если имеется более одного товара и если допустимо любое множество индивидуальных упорядочений, каждое из которых удовлетворяет индивидуалистским предположениям, тогда любая функция общественного благосостояния, удовлетворяющая условиям 2 и 3, является либо навязанной, либо диктаторской.

Хотя к разработке теоремы 3 меня подтолкнул анализ индивидуалистских оценок, выводы приложимы к любой попытке ограничить область индивидуальных упорядочений требованием, чтобы они были согласованы с любыми наперед заданными частичными упорядочениями. Таким образом, если изменить предшествующие индивидуальные упорядочения так, что в выборе между двумя альтернативами, предоставляющими один и тот же набор товаров данному индивидууму, этот индивидуум не будет безразличен, а станет выбирать на основе некоторой меры по равенству дохода, в то время как, однако, он по-прежнему предпочитает любую альтернативу, предоставляющую ему, по крайней мере, такую же долю всех товаров и больше, по крайней мере, одного, тогда будут применимы вышеуказанные отрицательные результаты относительно возможности построения функции общественного благосостояния, поскольку мы все равно сможем сформировать множество S, удовлетворяющее предположениям теоремы 3.

Это следствие проливает свет на пользу анализа максимальных состояний, как говорилось в разделе 4.1, если предположить, что желания индивидуума относительно социальных альтернатив формируются на индивидуалистской основе, которую мы обсуждаем в данной главе. Если единственными ограничениями, которые мы хотим наложить на предпочтения индивидуумов, являются те, что вытекают из индивидуалистских предположений, тогда не возможна никакая приемлемая функция общественного благосостояния. Поскольку, как мы убедились, единственной целью определения максимальных состояний является подготовка к изучению функции общественного благосостояния, обычное изучение максимальных состояний при индивидуалистских предположениях бессмысленно. Однако следует сделать оговорку. Понятно, что при добавлении дальнейших ограничений к индивидуалистским функция общественного благосостояния будет возможна; действительно, такой пример будет приведен в разделе 7.2. Любое состояние, являющееся максимальным при сочетании индивидуалистских и иных ограничений, безусловно, будет максимальным, если только индивидуалистские ограничения вытекают из индивидуальных упорядочений. Следовательно, если правильным подходом к проблеме общественного благосостояния считается введение дальнейших ограничений в дополнение к индивидуалистским, тогда социальный максимум в любой данной ситуации будет одним из максимальных элементов при объединенных ограничениях и, следовательно, одним из максимальных элементов при индивидуалистских условиях. Поэтому не исключено, что нынешняя новая экономика благосостояния будет полезна при ограничении области, в которой мы должны искать социальный максимум.

6.3. Квазиупорядочения и согласованные слабые упорядочения

В этом разделе будет доказана лемма о квазиупорядочениях и слабых упорядочениях, согласованных с ними (см. определения 7 и 8). Следующая теорема эквивалентна теореме Е. Шпильрайна (пр.73).

Теорема Шпильрайна. Если Q — квазиупорядочение, то существует слабое упорядочение R, согласованное с Q.

Таким образом, в обычной теории спроса можно построить квазиупорядочение на наборах товаров, сказав, что набор, все компоненты которого больше, чем у другого, ставится выше него. Теорема Шпильрайна гласит, что возможно построить полную карту безразличия, где сравнения таких пар наборов будет удовлетворять этому условию, т.е. можно построить карту безразличия убывающими кривыми безразличия. Теорема тривиальна в любом конкретном применении, тем не менее она не тривиальна в общем виде.

Из теоремы Шпильрайна выведем следующую лемму.

Лемма 4.
Пусть Q — квазиупорядочение, S — такое множество альтернатив, что, если х ≠ у и как х, так и у принадлежат S, тогда не выполняется xQy, и Т — отношение, устанавливающее слабое упорядочение на множестве S. Тогда существует слабое упорядочение R всех альтернатив, согласованных с Q так, что xRy тогда и только тогда, когда хТу для х и y в S.

Это означает следующее. Предположим, что для всех возможных пар альтернатив выбор между некоторыми парами заранее зафиксирован так, что если альтернатива х заранее фиксирована как альтернатива, предпочитаемая у, а альтернатива у заранее фиксирована как предпочитаемая z, тогда х заранее фиксирована как предпочитаемая альтернативе z. Предположим, однако, что существует множество S таких альтернатив, что нет пар, выбор между которыми был бы заранее предписан. Тогда лемма утверждает, что при задании любого упорядочения элементов в S существует способ упорядочения всех альтернатив, согласованный как с упорядочением в S, так и с выбором, сделанным заранее. Другими словами, если известно, что имеется некоторое упорядочение и известен некоторый выбор, вытекающий из этого упорядочения, но известный выбор не дает никакой прямой информации относительно выбора между элементами в подмножестве S, тогда не существует также косвенной информации относительно выбора в S, т.е. упорядочение всех альтернатив согласовано с любым упорядочением в S.

Таким образом, чтобы продолжить этот пример из теории спроса, предположим, что имеется, как и раньше, квазиупорядочение, вытекающее из условия, что все предельные полезности положительны. Такое квазиупорядочение не говорит нам ничего об упорядочении запасов по данной бюджетной плоскости (в предположении положительных цен). Тогда лемма 4 говорит, что не передается никакая информация относительно выбора на данной бюджетной плоскости в предположении, что все предельные полезности положительны. Любое упорядочение запасов на данном бюджетном уровне может быть распространено на карты безразличия для всех запасов, которые могут быть представлены функциями полезности, все частные производные которых положительны. (Конечно, предположение, что предельные полезности положительны, говорит, что выбор будет делаться на бюджетной линии, а не ниже.)

Доказательство леммы 4. Пусть Q" — любое квазиупорядочение такое, что

(1) для всех х и у из xQy следует xQ"у.

(2) для всех х и у в S из хТу следует xQ"y.

Отношение общего безразличия, т.е. xQ"y для всех х и у является квазиупорядочением и удовлетворяет (1) и (2), так что существует, по крайней мере, одно Q", удовлетворяющее (1) и (2). Определим отношение Q' следующим образом:

(3) xQ'y тогда и только тогда, когда xQ"y для всех квазиупорядочений Q", удовлетворяющих (1) и (2).
Поскольку каждое Q" — квазиупорядочение, то из (3) и определения 7 следует, что

(4) Q' — квазиупорядочение.
Согласно (1) —(3),

(5) для всех х и у из xQy вытекает xQ'y,

(6) для всех x и y в S из хТу вытекает xQ'y.

Предположим, что для некоторых х' и у' в S не выполняется х'Ту'. Пусть Х1 — множество всех таких альтернатив х, что либо

(7) для х в S имеет место хТу',
либо

(8) для некоторых z в S выполняется xQz и zTy'.
Пусть Q1 определяется так:

(9) xQ1y тогда и только тогда, когда либо х принадлежит X1, либо у не входит в Х1.
Из (9)и определения 7 следует, что

(10) Q1 — квазиупорядочение.

Предположим, что для некоторых х и у имеет место xQy и у принадлежит Х1. Тогда из (7) и (8) следует, что либо для у в S выполняется уТу', и в этом случае х принадлежит Х1, согласно (8), либо для некоторых z имеет место yQz, z в S и zTy'. В последнем случае из xQy и yQz вытекает xQz, поскольку Q — квазиупорядочение, так что снова х принадлежит Х1, согласно (8). Следовательно, в любом случае, если xQy и у принадлежит Х1, х принадлежит X1 Из (9) получим, что

(11) из xQy вытекает xQ1y.

Теперь предположим, что для некоторых х и у из S имеет место хТу и у находится в Х1. Тогда либо уТу', и в этом случае хТу', поскольку Т — слабое упорядочение, и поэтому х принадлежит Х1, согласно (7), либо yQz для z в S и zTy'. Но поскольку обе альтернативы у и z принадлежат S, последнее будет выполняться, если у = z по предположению, и получаем уТу', т.е. предыдущий случай. Из вышеизложенного

(12) для х и у в S из хТу вытекает xQ1y.

Согласно (10) — (12), Q1 — квазиупорядочение, удовлетворяющее (1) и (2). Но из (7) у' принадлежит Х1, поскольку у'Ту'. Так как по предположению не выполняется х'Ту', (7) не может выполняться для х = х'. Если х' принадлежит X1, тогда (8) должно выполняться, т.е. имеет место x'Qz, z принадлежит S и zTy'. Но поскольку х' и z принадлежат S, должно выполняться z = х', так что х'Ту', что противоречит допущению. Следовательно, х не принадлежит Х1, так что не выполняется x'Q1y'. Из (3) следует, что не выполняется x'Q'y'. Заменяя х' на х и у' на у, получим:

(13) для х и у в S из того, что не выполняется хТу, вытекает, что не выполняется xQ'y.

Теперь предположим, что для некоторых определенных х' и у' имеет место x'Qy' и не выполняется y'Qx'. Пусть Х2 — множество всех таких альтернатив х, что выполняется одно из следующих соотношений:

(14) xQx',

(15) х в S и для некоторых z в S выполняется xTz и zQx',

(16) для некоторых z1 и z2 в S имеет место xQz1, z1Tz2, z2Qx'.
Определим отношение Q2 следующим образом:

(17) xQ2y тогда и только тогда, когда либо х находится в Х2, либо у не принадлежит Х2.
Из (17) и определения 7 вытекает, что

(18) Q2 — квазиупорядочение.

Предположим, что для некоторых х и у имеет место xQy, у принадлежит Х2. Должно выполняться одно из соотношений (14) — (16) при замене х на у. Если yQx', тогда xQx', так что х находится в Х2. Если у лежит в S, z в S и верно yTz, zQx', тогда х принадлежит Х2, согласно (16). Если yQz1, z1Tz2, z2Qx', тогда поскольку xQy, получаем xQz1, z1Tz2, z2Qx'. Таким образом, х принадлежит Х2, согласно (16). Следовательно, как и раньше,

(19) из xQy вытекает xQ2y.

Предположим, что для некоторых х и у в S имеет место хТу, у лежит в Х2. Если yQx', тогда х находится в Х2, согласно (15). Если yTz, zQx', тогда поскольку хТу, xTz, zQx', то х принадлежит Х2, согласно (15). Если yQz1, z1Tz2, z2Qx', z1 и z2 принадлежат S, тогда, поскольку как у, так и z1 принадлежат S, у = z1 по предположению, этот случай сводится к предыдущему случаю, поскольку yTz2.

(20) Если х и у принадлежат S, из хТу следует, что xQ2y

Если у' принадлежал Х2, то выполнялось бы одно из соотношений (14) — (16) при х = y. Поскольку по предположению y'Qx' не выполняется, соотношение (14) не может выполняться. Если у' и z принадлежат S, y'Tz, zQx', тогда поскольку x'Qy', согласно допущению, выполняется zQy' так что z = у' по предположению относительно S и y'Qx', что противоречит допущению. Если выполняется y'Qz1, z1Tz2, z2Qx', z1 и Z2 лежат в S, тогда z2Qy', поскольку x'Qy', и, следовательно, z2Qz1. Отсюда следует, что z1 = z2, так что y'Qz1, z1Qx', и, следовательно, y'Qx', что противоречит предположению. Поэтому у' не принадлежит X2; с другой стороны, х' принадлежит X2, согласно (14), поскольку x'Qx'. Поэтому не выполняется y'Q2x', согласно (17). Из соотношений (18) — (20) и (1) — (3) следует, что не выполняется y'Q'x'. Заменяя х' на х и у' на у, получаем, что

(21) из xQy и того, что не выполняется yQx, следует, что не выполняется yQ'x.

Согласно (4) и теореме Шпильрайна, существует слабое упорядочение R всех альтернатив такое, что

(22) R согласовано с Q'.

Из (5), (22) и определения 8(в) получим

(23) из xQy следует xRy.
Из (5), (21), (22), определения 8(г) и соотношений xQy и не yQx следует xQ'y и не yQ'x, что, в свою очередь, влечет не xRy.

(24) из xQy и не yQx следует не xRy.
Из (23), (24) и определения 8 следует, что

(25) отношение R согласовано с Q.
Из (6), (22) и определения 8(в) следует, что

(26) для х и у, принадлежащих S, из хТу следует xRy.

Предположим, что х и у принадлежат S и не выполняется хТу. Тогда уТх, поскольку Т— слабое упорядочение. Из (6) и (13) вытекает, что yQ'x и не xQ'y; из (22) и определения 8(г) следует, что не xRy. Объединяя это с (26), получаем, что

(27) для х и у из S xRy выполняется тогда и только тогда, когда хТу.
Соотношения (25) и (27) доказывают лемму.

6.4. Пример

Предположим, что среди возможных альтернатив имеется три, ни одна из которых не предоставляет никакому индивидууму столько же обоих товаров, сколько любая другая. Пусть имеется два индивидуума и всего по 10 единиц каждого из двух товаров. Рассмотрим три альтернативных распределения, представленных в следующей таблице.

Альтернатива Индивидуум 1 Индивидуум 2
товар 1 товар 2 товар 1 товар 2
1 5 1 5 9
2 4 2 6 8
3 3 3 7 7

Наложенные индивидуалистские ограничения ничего не говорят о способе, которым индивидуум упорядочивает эти альтернативы. Все предпочтения разрешены, так что мы, по существу, вернулись к исходной ситуации ничем неограниченного выбора, когда возникает парадокс.

На самом деле, тот же пример показывает, что даже большие ограничения, которые порой используются, недостаточны. Так, иногда делается предположение, по крайней мере в качестве основы утверждений о благосостоянии, что у всех людей одинаковые предпочтения относительно их индивидуальных ситуаций. При заданных двумя индивидуумами упорядочениях различных социальных альтернатив можно построить шкалу предпочтений для шести получающихся индивидуальных ситуаций, предполагая, что три ситуации, доступные индивидууму 2, ранжированы в соответствии с его предпочтениями и все они располагаются выше трех ситуаций, доступных индивидууму 1, причем последние три также ранжированы между собой в соответствии с предпочтениями индивидуума 1. Если каждое распределение каждого товара в альтернативе 2 сократить на 0,5, то даже возможно встроить эту последнюю шкалу предпочтений для индивидуальных ситуаций в карту безразличия с выпуклыми кривыми безразличия; следовательно, даже выпуклость не накладывает достаточно ограничений на индивидуальные шкалы предпочтения, чтобы построить удовлетворительную функцию общественного благосостояния.

Результаты этого раздела подсказывают, что трудности формирования функции общественного благосостояния возникают из различных подходов, вытекающих из индивидуалистской гипотезы, в особенности в случае сходных предпочтений при индивидуальном потреблении. Отсюда следует, что возможность оценок общественного благосостояния основана на сходстве подхода к социальным альтернативам.

6.5. Мир, в котором есть один товар

Недостаточность индивидуалистской гипотезы для функции общественного благосостояния, как было показано в предыдущих разделах, зиждется на предположении, что имеется больше одного товара. Исследование ситуации с одним товаром может представлять интерес для прояснения изучаемых вопросов. ,p>В мире с одним товаром, если выполняются условия 1 и 2 раздела 6.1, для любого конкретного индивидуума существует только одно возможное упорядочение социальных состояний. Он ранжирует различные социальные состояния исключительно согласно количеству одного товара, которое он получает при каждом из них. В такой ситуации индивидуальные упорядочения не меняются; условия 2, 3 и 4 становятся неуместными, поскольку относятся к изменению коллективного упорядочения, соответствующего определенным типам изменений индивидуальных упорядочений. Условие 5 (отсутствие диктатуры) становится значительно более слабым ограничением, хотя и не вполне неуместным. Любое определение коллективного упорядочения, которое не совпадает полностью с упорядочением любого индивидуума, будет функцией общественного благосостояния, совместной со всеми условиями. Например, для каждого фиксированного выпуска можно установить произвольно упорядочение различных распределений; можно тогда упорядочить любые два социальные состояния в соответствии с различным значением выпуска, а любые два социальные состояния с одинаковым выпуском — в соответствии с произвольным упорядочением. Это устанавливает слабое упорядочение, не совпадающее с упорядочением любого индивидуума. Например, пусть х и у — два состояния с выпуском s и t, соответственно, и с пропорциональным распределением s' и t', соответственно, для данного индивидуума. Если s > t, но s' < t', тогда группа предпочитает альтернативу х апьтернативе у, в то время как индивидуум предпочитает альтернативу у альтернативе х.

Количественная природа различия между случаями с одним и многими товарами ставит под сомнение применимость к реальным ситуациям любых доводов относительно благосостояния, основанных на неявном предположении об одном товаре. Фундаментальная трудность здесь та же, что и указанная в связи с принципом компенсации Калдора в разделе 4.2: коль скоро существует более одного товара, встает вопрос об их соизмеримости, т.е. о введении общей оценки.

6.6. Групповой выбор в теории игр

На нынешней стадии развития теории игр с многими участниками важную роль играет предположение о том, что каждая коалиция ранжирует все возможные альтернативные стратегии в соответствии с суммой платежей членам коалиции (пр.75); но уже было подчеркнуто (см. раздел 6.2), что индивидуалистская гипотеза недостаточна для построения удовлетворительной функции общественного благосостояния.

Мир теории игр — это мир с одним товаром, но ситуация здесь несколько более сложная, чем описанная в предыдущем разделе. Если существует набор различных денежных выплат, любое распределение вероятностей по этому набору является для индивидуума результатом возможной социальной альтернативы (платежом), и каждый индивидуум ранжирует не только денежные выплаты, но и распределения вероятностей денежных выплат. Если нет других ограничений, вероятности различных результатов будут вести себя как различные товары, что сводится к ситуации из раздела 6.2. Однако профессора фон Нейман и Моргенштерн допускают в контексте теории игр, что индивидуумы ранжируют распределения вероятностей исключительно в соответствии с ожидаемым значением денежного дохода; это ранжирование неявно заложено в предположении о трансферабельной полезности (пр.76). Поэтому ранжирование каждым индивидуумом альтернативных социальных состояний предписано заранее, и это снова ситуация из предыдущего раздела.

6.7. Этика распределения в сочетании с индивидуализмом

Можно рассмотреть вкратце допущения относительно индивидуальных оценок, которые кажутся общими для тех, кто ощущает применимость новой экономики благосостояния к решению конкретных экономических проблем. Предполагается, что существуют: 1) признанные (скажем, единодушно признанные) оценки того, что если каждому живется лучше (точнее, если каждый живет, по крайней мере, не хуже, а хотя бы кто-то один живет лучше) при одном социальном состоянии, чем при другом, в соответствии с его предпочтениями, тогда первое социальное состояние предпочтительнее второго; 2) общепринятое упорядочение различных возможных распределений благосостояния при любой данной ситуации. Последнее ценностное суждение обычно принимает форму эгалитарности.

Эта этическая схема довольно ясно изложена в труде профессора Бергсона, второе ценностное суждение содержится в его "предложениях относительных долей" (пр.77). Такой же набор этических правил лежит в основе принципа компенсации Калдора и профессора Хикса; мы уже рассмотрели трудности, связанные с этим подходом (раздел 4.2). Позднее появились предложения профессоров Джонсона и Модильяни относительно проблемы увеличения стоимости продуктов питания, вызванного европейским спросом, которое кажется основанным на оценках (1) и (2), приведенных выше (пр.78). Для предотвращения несправедливого сдвига реального дохода фермеров было предложено ввести акциз на продукты питания с одновременным предоставлением субсидий потребителям. Согласно предположению, что спрос на сельхозпродукты совершенно неэластичен, налог будет поглощен фермерами, а субсидии не окажут эффекта замещения в предельном случае, так что предельный уровень замещения для любой пары товаров будет одинаковым для всех потребителей и, следовательно, будет оправдана первая оценка. Налоги и субсидии осуществляют чисто распределительную функцию и могут быть так устроены, чтобы восстановить status quo ante столь близкий, сколь это желательно, хотя на самом деле выплаты субсидии на душу населения подразумевает некоторый уравнивающий эффект.

Здесь предполагается, что оценки выполняются для каждого индивидуума. Заметим, что для справедливого установления этих оценок нужно четко разграничить оценки и вкусы (см. раздел 2.3). Предполагается, что все индивидуумы имеют одинаковые оценки в любой момент времени, но оценки любого индивидуума будут меняться при изменении предпочтений всех. Наш предыдущий довод относительно несуществования функций общественного благосостояния был основан на разнообразии оценок; переносятся ли они на этот вид единодушия?

Реальное распределение благосостояния, которое диктуется вторым ценностным суждением, не может быть установлено просто в денежных терминах. Как указывает профессор Самуэльсон, такая оценка несовместима ни с каким точно определенным коллективным упорядочением альтернативных социальных состояний (пр.79). Распределение реального дохода в данной ситуации должно изменяться в зависимости от индивидуального предпочтения. Таким образом, для данного набора индивидуальных предпочтений (как представлено упорядочениями всех индивидуумов, каждое из которых определяется собственным потреблением) и заданной ситуации существует заданное распределение покупательной способности (каким-то образом определенное). Тогда обмен в условиях совершенной конкуренции происходит до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное распределение. Данное распределение реального дохода и индивидуальных предпочтений однозначно определяет конечный результат, который является социальным состоянием. Поэтому данная этическая система определяет социальное состояние, выбранное в данной ситуации, как функцию предпочтений индивидуумов. Если для данного набора предпочтений ситуация меняется, можно ожидать, что выбранные множества будут согласованными в том смысле, что функция выбора будет порождаться коллективным слабым упорядочением всех социальных состояний. Таким образом, этическая схема, обсуждаемая в данном разделе, которую можно назвать Бергсоновой функцией общественного благосостояния, имеет форму правила, предписывающего коллективное упорядочение каждому возможному набору индивидуальных упорядочений, представляющих предпочтения. Математически Бергсонова функция общественного благосостояния имеет тогда такую же форму, как функция общественного благосостояния, о которой мы уже говорили, хотя, разумеется, интерпретация несколько отлична в том, что индивидуальные упорядочения представляют скорее предпочтения, чем оценки, и функция целиком является конечным продуктом определенных оценок, считающихся единодушно принятыми, а не метода согласования разнящихся систем ценностей. Если разброс предпочтений не ограничен априорными соображениями (кроме того, что они действительно должны быть предпочтениями, т.е. они должны относиться только к собственному потреблению индивидуума, насколько это возможно определить), тогда, действительно, Бергсонова функция общественного благосостояния математически изоморфна функции общественного благосостояния при индивидуалистских предположениях. Следовательно, теорема о возможности при индивидуалистских предположениях (следствие теоремы 3) приложима здесь; невозможно построить Бергсонову функцию общественного благосостояния, т.е. такую, которая удовлетворяла бы оценкам (1) и (2), и при этом чтобы удовлетворялись условия 2—5 и существовало истинное коллективное упорядочение для каждого набора индивидуальных предпочтений. По сути, эти две оценки — это то же самое, что преобразование индивидуалистского поведения в ценностные суждения; тогда неудивительно, что такая этика не может быть более успешной, чем реальная практика индивидуализма в формировании оценок общественного благосостояния.

Подобие как основа оценок общественного благосостояния

7.1. Полное единогласие

Предположим, что мы не делаем заранее предварительных допущений относительно формы предпочтения любого индивидуума, но предполагаем, что у всех индивидуумов предпочтения относительно социальных альтернатив одинаковы. Это подразумевает социально ориентированный подход и однородную группу. Если рассмотреть предпочтения, о которых идет речь, как относящиеся не к выраженным предпочтениям, а к предпочтениям, которые были бы выражены, если были бы устранены искажения допустимого множества, то предположение единогласия является идеалистическим взглядом политической философии (пр.80). В этом случае очевидный способ определения функции общественного благосостояния состоит в выборе какого-то одного индивидуума и заявлении, что шкала коллективных предпочтений будет такой же, как у него. Это удовлетворяет всем условиям, выдвинутым в главе 3, кроме условия, что функция общественного благосостояния не должна быть диктаторской. Согласно предположениям данного раздела, поскольку безразлично, кто — диктатор, условие отсутствия диктатуры теряет свою внутреннюю желательность.

Можно кое-что обобщить. Пусть заранее допускается, что большинство индивидуумов одинаково упорядочивает социальные альтернативы, причем неважно, известно ли заранее, из кого конкретно состоит это большинство. Правило большинства (см. определение 9) выделяет это выбранное большинством упорядочение и делает его коллективным упорядочением. И опять все условия, изложенные в главе 3, удовлетворяются.

Эти результаты, тривиальные с математической точки зрения, позволяют усилить предложение, сделанное в конце раздела 6.4, о том, что для формирования коллективных ценностных суждений нужны отношения к социальным альтернативам (в отличие от предпочтений в отношении индивидуального потребления). Некоторые суждения, способные породить такое сходство коллективных подходов, относятся к желанию свободы, национального могущества и равенства (пр.81); сходство индивидуальных предпочтений, по природе своей, ведет к сходству желаний в области социальных альтернатив. Несколько менее непосредственным в смысле социальной применимости является стремление к увеличению продолжительности жизни, которое можно отнести к самым универсальным целям человечества. Это желание, по сути, индивидуалистское, распространяющееся от силы на нескольких индивидуумов, но поскольку средства достижения увеличения продолжительности жизни по большей части социальны, существует мощный фактор, превращающий подобные проблемы в особые. Различия могут возникать из-за несовершенного знания (пр.82). Такую же природу имеют и различные типы коллективного потребления.

7.2. Случай однопиковых предпочтений

Радикальное ограничение на область определения возможных индивидуальных упорядочений недавно предложено профессором Дунканом Блэком (пр.83). Он предположил, что если U1, ..., Un — показатели полезности для индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn, тогда альтернативные социальные состояния могут быть представлены одной переменной таким образом, что каждый из графиков U1, ..., Un имеет единственный пик. Примером, когда это предположение выполняется, может служить партийная структура довоенных европейских парламентов, где четко различалось упорядочение левых и правых партий. Индивидуумы могли принадлежать любой из партий, но каждый признавал одну и ту же шкалу, в том смысле, что из двух партий левее его собственной индивидуум предпочитал программу менее левой. Аналогично дело обстояло и с правыми партиями, и ничего не требовалось уточнять относительно сравнительного выбора между партиями правее и левее той, что индивидуум избрал первоначально.

Есть и экономические примеры, где можно ожидать, что постулат Блэка будет выполняться. Так, предположим, что ради технологической эффективности требуется, чтобы все рабочие работали одинаковое количество часов, и нужно фиксировать это количество. Если допустить, что зарплата определяется предельной производительностью, уровень реальной зарплаты будет известной убывающей функцией от выбранного количества часов. Следовательно, каждая социальная альтернатива полностью определена единственным числом — числом отработанных часов. Для каждого индивидуума отношение между зарплатой и отработанными часами определяет кривую преобразования "доход/досуг". При индивидуалистских предположениях можно допустить, что индивидуумы ранжируют различное число рабочих часов, исходя из соответствующих точек на кривой преобразования "доход/досуг" и сравнивая кривые безразличия "дохода/досуга", проходящие через них. Резонно предположить, что существует одна точка на кривой преобразования, для которой максимальна индивидуальная полезность, и что индивидуальная полезность убывает, когда число рабочих часов отклоняется в любую сторону от оптимума. Тогда удовлетворяется постулат Блэка.

Блэк показывает, что при предположении об однопиковом предпочтении правило большинства (см. определение 9) приведет к определенному результату, поскольку существует ровно одна альтернатива, которую большинство предпочитает любой другой, при условии, что число голосов нечетно (пр.84). Если общее число альтернатив конечно, этот результат показывает, что для любого набора индивидуальных упорядочений, представимьгх однопиковыми предпочтениями, правило большинства ведет к транзитивному упорядочению альтернатив, поскольку можно убрать наилучшую альтернативу и рассмотреть ту, которая станет лучшей среди оставшихся с точки зрения предпочитаемости большинством индивидуумов, и т.д.(пр.85) Однако доказательство в общем случае для любого числа альтернатив требует других способов. Для этого формально переопределим предположение об однопиковом предпочтении.

При этом предположении существует такой способ упорядочения альтернатив, чтобы каждое индивидуальное упорядочение было представимо кривой однопиковой полезности. Это базовое переупорядочение альтернативных социальных состояний не является слабым упорядочением того типа, которое определено аксиомами I и II, поскольку из двух отличных друг от друга альтернатив одна должна предшествовать другой. Такое упорядочение аналогично отношению "меньше чем" в множестве действительных чисел; можно назвать его сильным упорядочением.

Определение 11. Отношение S называется отношением сильного упорядочения, если
(а) для всех х не выполняется xSx;
(б) для всех х ≠ у либо xSy, либо ySx;
(в) для всех х, у и z из xSy и ySz вытекает xSz.

В терминах сильного упорядочения можно очевидным образом определить понятие "быть между". Пусть В(х, у, z) означает "у находится между х и z".

Определение 12. Если S — сильное упорядочение, В(х, у, z) означает, что либо xSy и ySz, либо zSy и ySx.

Очевидным следствием из определений 11 и 12 является следующая лемма,

Лемма 5.
Если альтернативы х, у, z отличны друг от друга, тогда выполняется одно и только одно из следующих утверждений: В(х, у, z), В(у, х, z), В (у, z, х).

Предположение Блэка можно записать следующим образом.

Предложение об однопиковых предпочтениях. Существует такое сильное упорядочение S, что для каждого i из одновременного выполнения xRiy и В(х, у, z) вытекает уРiz, где В(х, у, z) — отношение "быть между", полученное из S no определению 12.

Рассмотрение однопикового графика показывает, что вышеуказанное утверждение в точности соответствует исходному.

В терминах нашего исследования Блэк предлагает заменить условие 1 на условие 1".

Условие 1". Для всех наборов индивидуальных упорядочений R1, ..., Rn, удовлетворяющих предположению об однопиковых предпочтениях, соответствующее коллективное упорядочение R должно быть слабым упорядочением.

Уже было отмечено (теорема 1), что правило большинства является функцией общественного благосостояния, удовлетворяющей условиям 1—5, когда существует всего две альтернативы, но этот метод не удовлетворяет условию 1, когда количество альтернатив больше двух. Однако правило большинства удовлетворяет условиям 2—5 для любого числа альтернатив. Покажем, что это правило удовлетворяет условию 1" и, следовательно, является допустимой функцией общественного благосостояния для однопикового предпочтения.

Пусть, как раньше, N(x, у) — число индивидуумов, для которых xRiy. Тогда, по определению 9, если R строится правилом большинства,

(1) xRy тогда и только тогда, когда N(x, у) >= N(y, x).

Лемма 6.
Если R построено с помощью правила большинства из заданного набора индивидуальных упорядочений R1, .... Rn и если для всех i из xRiy вытекает zPiw (для данных x,y,z и w), тогда из xRy вытекает zRw.

Доказательство. Пусть выполняется условие теоремы и имеет место xRy. Мы хотим доказать, что zRw. Согласно гипотезе, для каждого индивидуума, для которого xRiy, можно сказать, что zRiw, так что

(2) N(z, w) >= N(x, у).

К тому же, поскольку xRy, получаем, согласно (1),

(3) N(x,y) >= N(y,x).

Если wRiz, тогда не выполняется zPiw. Следовательно, согласно гипотезе, не выполняется xRiy, и поэтому yRix. Таким образом, из wRiz вытекает yRix, так что

(4) N(y, х) >= N(w, z).

Согласно (2) — (4), N(z, w) >= N(w, z), так что, согласно (1), zRw, что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема о возможности для однопикового предпочтения). Правило большинства представляет собой функцию общественного благосостояния, удовлетворяющую условию 1" и условиям 2—5 для любого числа альтернатив, если число индивидуумов нечетно.

Доказательство. Согласно лемме 3, правило большинства удовлетворяет условиям 2—5. Следовательно, необходимо только доказать, что если R1,..., Rn удовлетворяет предположению об однопиковом предпочтении, тогда коллективное упорядочение R, построенное правилом большинства, удовлетворяет аксиомам I и II. Ясно, что либо N(x, у) >= N(y, х), либо N(y, х) >= N(x, у), так что, согласно (1), для всех х и у либо xRy, либо yRx. Следовательно, R удовлетворяет аксиоме I.

Для того чтобы показать, что R транзитивно, пусть xRy и yRz. Мы должны доказать, что xRz. Если х = у, тогда xRz следует из yRz; если у = z, тогда xRz следует из xRy. Если х = z, тогда надо доказать, что xRx, но это непосредственно следует из (1) и тривиального факта, что N(x, х) >= N(x, х).

Теперь пусть х, у и z отличны друг от друга. Согласно лемме 5, существуют три возможности.

(а) В(х, у, z). Согласно предположению, если выполняется xRiy, то гда выполняется yPiz. Из xRiy и yPiz следует, что xPiz, т.е. из xRiy вытекает xPiz.

Теперь применим лемму 6, заменяя z на х и w на z; из предположения xRy следует xRz.

(б) В(у, х, z). Пусть имеет место yRiZ, но не выполняется xPiz. Из второго утверждения следует zRix. Из того, что yRiz и zRix, можно заключить, что yRiX. Согласно предположению, при замене х на у и у на х из yRix вытекает xPiz, что противоречит первоначальному предположению, что одновременно выполняется yRiz и не выполняется xPiz. Поэтому если yRiz, тогда xPiz. Согласно лемме 6, если заменить х на у, у на z, z на х и w на z, соотношение xRz следует из yRz.

(в) В(у, z, x). Пусть yRiz. Тогда, согласно предположению, заменив х на у, у на z и z на х, можно утверждать, что zPix. Из yRiz и zPix получаем уРiх. Таким образом,

(5) из yRiz вытекает yPix.

Пусть N' — число индивидуумов, для которых имеет место yPix и N — общее число индивидуумов. В таком случае xRiy тогда и только тогда, когда не выполняется yPix, так что

(6) N(x,y) = N - N'.
Если уРiх, тогда, разумеется, yRix, так что

(7) N(y,x) > N'.
Поскольку xRy, то получим, согласно (1), что N(x, у) >= N(y, x); согласно (6) и (7) N - N' >= N' или

(8) N' =< N / 2.
Из (5) следует

(9) N' >= N(y,z).
Для каждого i имеет место либо yRiz, либо zRiy; поэтому

(10) N(y,z) + N(z,y) >= N.

Поскольку yRz, получаем, согласно (1), что N(y, z) >= N(z, у), Согласно (10), отсюда следует, что N(y, z) >= N / 2. Из (9) следует, что N' > N / 2 и, с помощью (8), N' = N / 2. Но это противоречит предположению, что количество избирателей нечетно. Следовательно, случай (в) не может иметь места; если В(у, z, х), то не может одновременно выполняться xRy и yRz.

Поэтому в каждом случае, где было возможно, что xRy и yRz, выполнялось xRz. Таким образом, R — транзитивно, что завершает доказательство теоремы 4.

Можно отметить, что теорема 1, теорема о возможности для двух альтернатив, на самом деле является особым случаем теоремы 4, поскольку если существуют только две альтернативы, индивидуальные упорядочения с необходимостью являются однопиковыми. Случай полного единогласия, рассмотренный в разделе 7.1, — это также случай однопикового предпочтения, если альтернативы, безразличные для каждого индивидуума, рассматривать как идентичные, потому что тогда можно использовать в качестве базового сильного упорядочения общее индивидуальное упорядочение. Отметим также, что в примере парадокса голосования, упомянутом в разделе 1.1, не существует способа упорядочения трех альтернатив так, чтобы упорядочения были из множества однопиковых.

Условие теоремы 4 относительно нечетного числа индивидуумов существенно. Пусть существуют два индивидуума, один из которых предпочитает альтернативу х альтернативе у и альтернативу y альтернативе z, в то время как второй предпочитает альтернативу у альтернативе z и альтернативу z альтернативе х. Эти упорядочения удовлетворяют предположению об однопиковом предпочтении, если упорядочение х, у, z принято за базовое сильное упорядочение. Тогда правило большинства требует, чтобы альтернатива х была безразлична по отношению к альтернативе у и у была предпочтительнее, чем z, но х — безразлична и не является более предпочтительной, чем z.

Таким образом, если предположение об однопиковых предпочтениях удовлетворяется, из упорядочений различных индивидуумов, число которых, согласно допущению, нечетно, можно при определенных предположениях относительно допустимого множества построить коллективное решение рассмотрением каждой пары альтернатив, заставив индивидуумов проголосовать по ним и затем выбрав ту альтернативу, за которую проголосовало большинство при попарном сравнении. На самом деле, как указывает Блэк, если это предположение принято, нет необходимости проводить все сравнения, которые позволяют найти оптимум; достаточно взглянуть только на первый выбор различных индивидуумов и найти медиану этих первых выборов, когда их считают построенными в соответствии с основным сильным упорядочением (пр.86).

Тот факт, что ограничения Блэка на индивидуальные упорядочения Достаточны для построения функции общественного благосостояния, проливает свет на то, что подразумевается под схожестью социальных взглядов. В данном случае у индивидуумов может различаться первый выбор, но они должны иметь, в принципе, одинаковый подход к классификации альтернатив, поскольку они все упорядочивают альтернативы одинаковым образом (пр.87).

7.3. Идеалистическая позиция и понятие консенсуса

Результаты двух предыдущих разделов показывают, что по крайней мере математически можно построить подходящие функции общественного благосостояния, если мы чувствуем себя вправе заранее считать, что предпочтения индивидуумов попадают в некоторые предписанные множества схожих предпочтений. Имеют ли эти или другие возможные математические ограничения какую-то социальную значимость? Я не претендую на обладание каким-то определенным ответом, но имеются некоторые соображения и предварительные предположения, в особенности по поводу отношения между математикой и взглядами, изложенными в небольшой выборке из обширной литературы по основам общественной морали.

Предположение из раздела 7.1 о полном согласии среди индивидуумов относительно упорядочения социальных альтернатив может казаться противоречащим фактам. Но при правильной интерпретации оно является основой важного направления политической философии, а именно идеалистической школы. Фундаментальная доктрина этой группы состоит в том, что следует различать волю индивидуума, существующую в любой данный момент при изменяющихся внешних воздействиях, и общую волю, которая считается присутствующей в каждом и одинаковой для всех. На ней основывается общественная мораль. Этот взгляд выражен в трудах Руссо, Канта, Т.Х. Грина и многих других (пр.88). На самом деле, возможно значительное расхождение между волей индивидуума, испорченной окружающей средой, и истинной общей волей, которая никогда не ошибается, хотя и может заблуждаться относительно средств, более того, эти две воли могут совпасть лишь случайно (пр.89). Но на существовании общей воли как основы самого существования общества эта доктрина настаивает (пр.90).

Кант самым систематическим образом развил эту идеалистическую точку зрения в учении о морали. Он различает три императива для индивидуума: технический, прагматический и моральный. Технический императив идентичен тому, что мы назвали здесь средой, он представляет собой знание способов достижения заданных целей. Прагматический императив -— это направление поиска индивидуумом своего счастья. Он соответствует нашим индивидуальным упорядочениям социальных альтернатив. Счастье, по Канту, — туманное и неопределенное руководство к действию. Эти два императива имеют случайный характер, им недостает крайней необходимости, характеризующей моральные обязательства; поэтому Кант обращается в противовес моральным императивам к гипотетическому императиву, т.е. объективно существующему категорическому императиву (пр.91). Моральный императив в каком-то смысле соответствует нашему представлению о коллективном упорядочении, но в то же время является индивидуальным упорядочением для каждого индивидуума; это — воля, которую имел бы каждый индивидуум, если бы вел себя полностью рационально.

Содержание морального императива вытекает из его категорической природы. Моральный, или категорический, императив должен иметь полную межличностную обоснованность; таков кантианский принцип свободы воли. Для того чтобы он выполнялся, каждый индивидуум должен относиться к любому другому как к самостоятельной ценности. Знаменитое правило категорического императива состоит тогда в принятии таких принципов поведения, что если каждый следовал бы им, не возникало бы никаких внутренних противоречий. Группа индивидуумов, каждый из которых рационально подчиняется моральному императиву, составляет "царство конечных результатов" — в нашей терминологии, группу с удовлетворительной функцией общественного благосостояния (пр.92).

Идеалистическую доктрину тогда можно охарактеризовать так. У каждого индивидуума есть два упорядочения, одно из которых управляет им в повседневной жизни, и другое, которое проявляется при некоторых идеальных условиях и которое в некотором смысле более истинно, чем первое упорядочение. Последнее считается соответствующим коллективному выбору, причем допускают, что существует полное единогласие относительно более истинного индивидуального упорядочения.

Требование, чтобы прагматические императивы разных индивидуумов были идентичны и даже чтобы существовали моральные императивы, обладающие этим свойством, было бы слишком сильным. Результаты раздела 7.2 показывают, что условие единогласия с математической точки зрения не является необходимым для существования функции общественного благосостояния, и можно только надеяться, что существуют еще и другие условия, помимо изложенных там, при которых формирование функции общественного благосостояния происходит иначе, чем правилом большинства. Но должен существовать некоторого рода консенсус в отношении целей общества, иначе нельзя будет построить никакой функции общественного благосостояния. Если отрицать возможность или осмысленность двух воль, консенсус должен будет обнаружиться в открыто выраженных индивидуальных упорядочениях; если же признать эту возможность, можно обнаружить желаемое согласие в моральных императивах различных членов общества.

Важность консенсуса в целях — как части процесса формирования оценок по проблемам общественного благосостояния — подчеркивали экономисты как левых, так и правых убеждений. Профессор Найт выразил это самым явным образом: "Мы настаиваем не только на том, что такие идеалы реально присущи индивидуумам, но и на том, что это часть нашей культуры и что они достаточно единообразны и объективны, чтобы сформировать работающие стандарты сравнения для данной страны в данное время" (пр.93). Эта формулировка особенно ценна как указание на то, что консенсус моральных императивов нет нужды обосновывать метафизическим абсолютом, но можно основывать на относительных социально-этических нормах определенной культуры. В неявном виде у Найта присутствует вывод, что существуют две воли; как отмечено ниже, он с очевидностью рассматривает моральный императив как нечто, для выявления чего необходимы специальные методы, что вряд ли потребовалось бы, если концепцию консенсуса применять к прагматическим императивам индивидуумов.

Профессор Стиглер поставил в упрек новой экономике благосостояния, что она не принимает во внимание консенсуса целей (пр.94). Из его рассуждений неясно, считает ли он, что консенсус в целях может быть обнаружен уже в ходе случайного наблюдения (т.е. относится к прагматическим императивам) или для его выявления требуется специальное исследование. Из его замечаний следует, по-видимому, что он скорее склоняется к первому, а в этом случае на него распространяется требование профессора Самуэльсона немедленно пролить свет на различные конкретные экономические проблемы (пр.95).

Различие между моральным и прагматическим императивами было несколько лет назад одной из тем дискуссий между господином Доббом и профессором Лернером (пр.96). Одним из главных доводов Добба в его отрицании возможности функционирования социалистической экономики при системе фиксированных цен были нападки на "священность потребительских предпочтений", особенно в отношении временных предпочтений: "В оценках будущего «естественный» индивидуум славится ненадежностью" (пр.97). В этом вопросе и в такой сфере, как число разнообразных товаров, которые должны быть представлены на рынке, считается, что коллективный выбор стоит выше индивидуального; его ссылка на закон предпочтений Грешэма является четким указанием различий между моральным и прагматическим императивами и необходимости специальных способов выбора для достижения императива. Подверженность воли индивидуума искажению проявляется в подчеркивании Доббом изменчивости индивидуальных предпочтений в присутствии рекламы и при появлении новых товаров (пр.98). Его замечания близки рассуждениям Канта о расплывчатости и неопределенности стремления к личному счастью как руководства к действию. Лернер весьма справедливо отмечает, что Добб "подразумевает некий трансцендентный оптимум, иной, чем предлагается «свободным рынком или любым другим способом» (пр.99). Сам Добб, также исходя из рационалистической традиции-, общей для утилитаризма и марксизма, проявляет некоторую обеспокоенность: "Но я не хочу следовать Канту и «ограничивать знание ради освобождения дороги вере». У плановой экономики будут свои экономические законы", хотя Добб их и не указывает (пр.100).

Труд Добба ясно показывает дилемму, возникающую при принятии доктрины консенсуса за основу социальной этики. Эмпирически можно отрицать идею, что консенсус можно обнаружить в выраженных волеизъявлениях индивидуумов. Если консенсус можно найти в моральном императиве, то на чем он основан? Этический абсолютизм неудовлетворителен для разума, воспитанного на либеральном наследии, однако многие конкретные изъяны либеральных формулировок отвергаются. Версия Найта, построенная на этическом релятивизме, ведет к угрозе прославления status quo, хотя она и представляется наилучшей альтернативой.

Что же касается поиска консенсуса морального императива индивидуумов, если считать, что такой консенсус существует, то проблема подбора механизма выбора, электорального или иного, или более широко, подбора социальной структуры предполагает совершенно другую форму, нежели та, что обсуждалась в большей части данного исследования. Основной проблемой становится проблема выбора механизма так, чтобы наилучшим образом привести прагматический императив к совпадению с моральным. Именно с этой точки зрения Руссо обсуждал относительные достоинства различных форм правления (пр.101).

В этом аспекте демократия опирается на тот довод, что свобода дискуссий и выражения мнений — наиболее подходящие способы выявления морального императива, в неявном виде общего для всех (пр.102). Голосование с этой точки зрения не является механизмом, с помощью которого каждый индивидуум выражает личные интересы. Скорее это возможность для каждого индивидуума выразить свое мнение как проявление общей воли (пр.103).

У этой модели много общего со статистической проблемой агрегирования мнений экспертной группы для получения лучшей оценки; здесь индивидуумы считаются экспертами в обнаружении морального императива (пр.104). Противник демократии может утверждать, что только меньшинство обладает достаточной способностью различить моральный императив под скрывающей его вуалью императива прагматического, чтобы служить полезными экспертами в данном вопросе. Недаром Платон требует, чтобы коллективный выбор совершался небольшой специализированной группой стражей. Сторонник демократии может утверждать, что все люди от рождения наделены равными долями божьего духа, все его дети. Аналогия с проблемой агрегирования экспертных оценок, увы, не полная, поскольку в проблеме общественного благосостояния сам способ агрегирования, т.е. построения коллективного решения, может оказывать влияние на то, насколько индивидуумы являются экспертами. Например, выделение определенной группы, такой как стражи, для осуществления управления, благодаря большей праздности и лучшим условиям жизни, которые появятся у них в результате такого решения, может позволить им принимать лучшие решения, несмотря на то, что у этой группы нет никаких природных преимуществ перед остальной частью общества. С другой стороны, полученные привилегии могут вызвать потерю контакта с повседневными проблемами обычных людей и, значит, снизить их способность принимать "хорошие" решения в определенном контексте. Если поставить вопрос шире, само установление практики принятия решений по вопросам общественного блага диктатором или элитой может привести к отделению прагматического императива от морального. "Всякая власть развращает. Абсолютная власть развращает абсолютно" (лорд Актон).

Любой взгляд, опирающийся на консенсус как на основу социального действия, безусловно, подразумевает, что рыночный механизм нельзя использовать как функцию общественного благосостояния, поскольку этот механизм не может учитывать альтруистические мотивы, которые должны присутствовать ради сохранения консенсуса. Еще хуже обстоит дело, если консенсус, о котором идет речь, относится к моральным императивам, поскольку рынок может, конечно, выражать только прагматический императив. Это не отрицает возможность ограниченного использования рынка как инструмента достижения определенных элементов социального оптимума, в особенности, если им сознательно манипулируют ради совмещения поведения, обусловленного прагматическим императивом, с поведением, которое было обусловлено моральным императивом.

7.4. Знание и значение коллективных альтернатив

Различие между открыто выраженной волей и некоторыми более истинными желаниями можно изложить несколько иначе. Можно считать, что любой индивидуум имеет некоторые высшие ценности, отчасти биологической природы, отчасти специфичные для данной культуры; все эти ценности в значительной мере не осознаются. Его наблюдаемые предпочтения относятся к ценностям, которые служат инструментом для достижения этих высших ценностей. Отношение между этими двумя наборами ценностей неоднозначно: для данного набора высших ценностей может быть несколько различных наборов инструментальных ценностей, зависящих от того, насколько лучше или хуже знает индивидуум наилучшие средства для достижения своих высших ценностей или того, в чем эти ценности состоят. Второй тип неведения, как представляется, существует исключительно в сознании Добба, в том виде, как обсуждалось в последнем разделе и везде, где речь шла об идеалистической традиции. Реальность неведения первого типа в экономической жизни ярко подтверждается тем, что отношение цен на два химически неразличимых аспирина разных производителей различается больше чем в 10 раз. Здесь иерархия инструментальных ценностей ведет к различным предпочтениям разных марок аспирина, хотя они в действительности равным образом эффективны в достижении главной цели — устранении головной боли. Хотя экономика благосостояния в своих формальных постановках, как правило, считает проявления поведения индивидуумов не поддающимися анализу, немного найдется экономистов, которые стали бы возражать против законов, запрещающих лживую рекламу.

В этой связи следует отметить, что альтернативы, среди которых определяется коллективное предпочтение, можно интерпретировать (по крайней мере) двумя способами: 1) каждая альтернатива — вектор, чьи компоненты суть оценки различных решений, фактически сделанных правительством, такие, как уровень налогов, государственные расходы, антимонопольная политика и ценовая политика предприятий общественного сектора; 2) каждая альтернатива представляет собой полное описание состояния каждого индивидуума в будущем. Ради удобства мы станем называть первую интерпретацию понятия "альтернатива" понятием "социальное решение", а вторую — понятием "общественная цель". Общественные цели либо являются конечными целями, либо же, по крайней мере, полностью определяют конечные цели; отношение между общественными целями и конечными целями неизвестно лишь в той степени, в какой неизвестны конечные цели. С другой стороны, также верно, что социальные решения определяют, целиком или частично, общестпенные цели; но отношение здесь является предметом, хотя бы отчасти, эмпирических законов общественных наук. В нынешнем состоянии данных дисциплин было бы чрезмерным ожидать, что эти отношения хорошо известны. Поэтому отношение между упорядочениями, касающимися общественных целей и касающимися социальных решений, страдает неопределенностью.

Одно из величайших преимуществ методов абстрактного постулирования — то, что одной и той же системе можно дать несколько различных интерпретаций, позволяющих значительно сэкономить время. В данном случае аргументы, приведенные в главе 5, обоснованы, вне зависимости от того, понимаются ли под переменными х, у, ... социальные решения или общественные цели. Можно поэтому доказывать, что проблема одинаково остра в любом случае. Однако можно утверждать, что, поскольку конечные цели возникают из биологических или культурных потребностей, они, по крайней мере частично, объективны. Таким обра- зом, упорядочения общественных целей, хотя и не идентичны для разных индивидуумов, но скорее окажутся сходными, чем шкалы индивидуальных предпочтений для социальных решений. Может оказаться, что биологическая и культурная основа высших ценностей настолько ограничивает предпочтения, относящиеся к ним, что можно построить функцию общественного благосостояния. Тогда коллективные упорядочения социальных решений должны основываться на коллективных упорядочениях общественных целей при использовании научных и статистических методов, чтобы ограничить меру неведения при переходе от решений к целям, а также ограничить воздействие остающегося неведения.

Можно также отметить, что в терминах анализа данного раздела доктрина "просвещенного эгоизма" оправдана в том случае, когда предполагается, что все индивидуумы разделяют конечные цели общества. В этом случае различия во мнениях по социальным вопросам возникают из-за недостатка знания и могут быть устранены выяснением истины и широким ее распространением. В наш нынешний век пессимизма даже это кажется очень сложной проблемой, от которой не так легко отмахнуться, как это казалось нашим более жизнерадостным предкам в прошлом веке.

Факт неопределенности, касающийся связи между решениями и целями, имеет важные следствия для рассмотрения противоречия, связанного со сравнительной эффективностью централизованного и децентрализованного планирования, в особенности в динамической экономике. Можно доказывать, что централизованное планирование непременно сокращает эту неопределенность, поскольку центральному плановому органу доступно больше фактов (пр.105). Правда, что воздействие любой ошибки при централизации может быть больше, но это не случится, если принят рациональный способ планирования в условиях неопределенности (пр.106). В современных исследованиях формальных аспектов экономики благосостояния (пр.107) связь неопределенности и оптимальных форм экономических систем изучена недостаточно. Возможно, причина этому — отсутствие разработанной теории в условиях неопределенности. Таким образом, эвристически богатым рассуждениям профессора Хикса (пр.108) немало повредила его ограниченная теория достоверного эквивалента. Ограничения этого подхода очень хорошо показаны профессорами Хартом и Фридменом (пр.109).

7.5. Частичное единогласие

Рассуждения в последних двух разделах предполагают, хотя и нечетко, что решение проблемы общественного благосостояния может лежать в некотором обобщении условия единогласия, о котором шла речь в разделе 7.1, в приложении к индивидуальным упорядочениям, обнаруживаемым специальными изысканиями, а не выраженным открыто. Но корректное математическое обобщение условия единогласия построить непросто. Постулат Блэка, хотя и не лишенный элегантности, очевидно неприменим, хотя, возможно, более глубокие исследования изменят этот вердикт.

Попытка обобщения, которая напрашивается сама собой, состоит в допущении, что все индивидуумы единогласны по поводу некоторых решений, но не обязательно единодушны относительно других. Другими словами, среди возможных упорядоченных пар социальных альтернатив (х, у) существуют некоторые, про которые известно, что все индивидуумы в отношении них единодушны. Эти общие чувства можно выразить, сказав, что существует квазиупорядочение Q всех социальных альтернатив, так что упорядочения всех индивидуумов согласованы с этим квазиупорядочением. Если существуют такие три альтернативы, что Q не говорит нам ничего о сравнении любых двух альтернатив, т.е. если существуют такие три альтернативы, что не предполагается единогласия относительно выбора между любыми двумя, тогда ясно, что предположение частичного единогласия не исключает любой из трех рассматриваемых альтернатив.

Этот результат можно строго вывести из теоремы 3. Во-первых, пусть не просто известно, что определенный выбор будет не единогласным; на самом деле известно заранее, каков будет выбор. Таким образом, пусть Q заранее известно. Если допустить, что S — набор из трех альтернатив, упомянутых выше, тогда теорема 3 использует Q1 ..., Qn, причем все Q одинаковы. Если теперь просто постулировать единогласие этого выбора без уточнения, как выбор должен проявиться, то мы явно накладываем меньше ограничений на упорядочения индивидуумов, и поэтому тем более обосновано, что возможны только следующие функции общественного благосостояния — навязанная или диктаторская.

7.6. Процесс решения как оценка

До сих пор не было сделано попыток обнаружения решения путем рассмотрения компонент вектора, определяющего социальное состояние. Особенно интересный анализ такого рода полагает, что среди переменных, которые, будучи вместе взятыми, определяют социальное состояние, одна является тем самым процессом, с помощью которого группа делает выбор. Это особенно важно, если сам механизм выбора представляет ценность как для индивидуума, так и для общества.

Например, у индивидуума может быть позитивное предпочтение достичь данного распределения через любой механизм свободного рынка, чем через механизм квотирования правительством. Если процесс решения интерпретируется широко, так чтобы включить весь социальнопсихологический климат, в котором принимаются социальные решения, то очевидны реальность и важность таких предпочтений в противовес предпочтениям относительно распределения товаров.

С логической точки зрения следует более осторожно определять процесс принятия решений, поскольку выбор процесса решений в любом конкретном случае является процессом решения. Однако здесь нет проблемы "порочного круга": если х — вектор, описывающий возможное социальное состояние, пусть х1 — компоненты этого вектора, не являющиеся процессами решений; пусть х2 — процесс решения о выборе среди альтернативных возможных компонент х1; в общем, пусть хn — процесс решения о выборе среди альтернативных возможных компонент xn - 1. Можно рассматривать х1 как решение первого порядка, x2 — как решение второго порядка и т.д., тогда решение n-го порядка является процессом выбора способа решения (п - 1)-го порядка. Любое конкретное социальное состояние описывается вектором вида (х1, х2 ..., хn, ...). Описывая правительство США, можно сказать, что х1 — предлагаемый законопроект или, точнее, предлагаемый законопроект вместе со всем действующим на данный момент законодательством; х2 — процесс превращения конгрессом и президентом законопроекта в закон; х3 — процесс избрания конгресса и президента, установленный конституцией; и х4, — процесс внесения поправок в конституцию.

Пусть для некоторой величины n существует единственно возможное хn, которое настолько желательно всем индивидуумам, что они предпочитают любое социальное состояние, где принимается это самое хn, любому, где это состояние не принимается (пр.110). Например, вера в демократию может быть столь сильна, что любое распределение благ, полученное демократическим путем, предпочитают решению, полученному любым другим способом, даже если все индивидуумы могли бы предпочесть второе распределение благ первому, если оно было бы получено демократическим путем. Аналогично, стремление к диктатуре или поддержка некоторого диктатора могут быть всеобщими при определенных условиях. В таком случае снова наша проблема общественного благосостояния может считаться решенной, поскольку единогласие по процессу решения может разрешить конфликты, относящиеся к самим решениям.

Некоторое оценивание, похожее на вышеприведенное, присутствует в неявном виде в каждой стабильной политической структуре. Однако на практике существует определенный эмпирический элемент; индивидуумы предпочитают определенные политические структуры другим, исходя не только из симпатии к данной структуре как таковой, но и потому, что у них есть некоторое представление о предпочтениях других индивидуумов в обществе и ощущение, что они в целом могут ожидать от данной структуры с учетом ожидаемого поведения других индивидуумов. В этом случае у них есть представление о тех решениях по текущим вопросам, которые будут обычно для них приемлемы. Таким образом, можно ожидать, что оценки общественного благосостояния обычно можно сделать, когда существует как широко распространенное согласие по процессу решений, так и широко распространенное согласие по желательности повседневных решений. Действительно, достаточность одного лишь первого, как это было в предыдущем разделе, потребовало бы от индивидуумов приписывания несоизмеримо преувеличенного значения процессу по сравнению с решениями, полученными в его результате, что кажется не заслуживающим доверия представлением психологии большинства индивидуумов в отношении общественных проблем.

Заметки по теории коллективного выбора, 1963

Когда вышло первое издание этой книги, относящуюся к теме литературу можно было кратко описать на четырех страницах. С 1951 г. было проведено немало дискуссий. Готовя второе издание, я посчитал, что наиболее полезно дополнить мои предыдущие рассуждения серией размышлений, на которые меня вдохновили недавние дискуссии. Несмотря на высокий уровень прошедших дискуссий, мне не кажется обязательным исправлять сам текст книги. Новые веяния существенно коснулись не результатов (пр.111), а их интерпретации и отношения к другим современным работам в этой области. Я не пытаюсь здесь дать исчерпывающим образом ссылки на работы.

Позвольте для начала привлечь внимание к некоторым превосходным толкованиям теории коллективного выбора, появившимся в последнее десятилетие. Изумительно ясное объяснение на элементарном уровне было дано М. Барбю (пр.112). Несколько интересных статей по основам экономики благосостояния появилось в специальном выпуске журнала "Прикладная экономика" (пр.113). В особенности хочу обратить внимание читателя на замечательное толкование теории коллективного выбора и общей проблемы агрегирования в работах Г.-Т. Гюйбо (пр.114).

Недавняя статья У. Викри (пр.115) рассматривает доказательство основной теоремы данной книги исходя из несколько иных допущений и прослеживает некоторые возможные следствия и дальнейшее развитие основ теории. Переформулировав аксиомы в несколько иной форме, он получил исключительно простое представление, которое очень ясно показывает логику рассуждений.

Возможно, самым полным и современным обзором по проблеме агрегирования индивидуального выбора в коллективный, с особым упором на политические аспекты, было проведено У. Райкером (пр.116). Добротный обзор экономической литературы подготовил Дж. Ротенберг (пр.117).

Наконец, следует отметить, что пионерные труды Д. Блэка (см. раздел 7.2 данного текста) недавно были собраны и систематически изложены в его книге (пр.118).

8.1. Исторические заметки

Я должен признаться в некоторой нехватке усердия в прослеживании исторических корней теории коллективного выбора. Когда я впервые изучал проблему и рассматривал противоречия в правиле большинства, я был убежден, что это не является оригинальным открытием, хотя у меня не было явного материала для ссылок и я старался выразить это знание, обращаясь к известному "парадоксу голосования" (раздел 1.1). Когда основные идеи этой книги появились впервые в моем выступлении в Эконометрическом обществе в декабре 1948 г., профессор Райт из университета Нью-Брунсуика привлек мое внимание к работе Нансона (пр.119). Нансон, обсуждая свое предложение относительно способа голосования, упоминает, особо это не акцентируя, о возможности нетранзитивности, возникающей при правиле большинства, по поводу чего он не дает никаких ссылок на предшественников. Справедливости ради следует отметить, что тон его замечаний не предполагает, что эта возможность является его собственным открытием, хотя трудно сказать наверняка.

Однако Гюйбо (пр.120) отмечает, что этот парадокс был известен еще маркизу Кондорсе в XVIII столетии (пр.121) и называет его эффектом Кондорсе. Разработка этого парадокса была частью огромного интереса Кондорсе к методам выборов и, в особенности, к теории коллективного выбора. Его труд, в свою очередь, видимо был вдохновлен еще более ранней статьей, написанной Жаном-Шарлем де Борда (пр.122).

Блэк (пр.123) написал историю теории коллективного выбора, начиная с работ Борда и включая труды Кондорсе, Лапласа, Нансона, Гальтона и, в особенности, Ч. Доджсона (Льюиса Кэрролла). В отношении последнего автора ему удалось даже открыть некоторые ранее неопубликованные памфлеты, в которых Доджсон зашифрованно, хотя и с огромной остротой ума, проанализировал проблемы выборов и, в особенности, то, что называл "циклическим большинством". Как работа Доджсона, так и комментарии Блэка к этой работе и обстоятельствам ее написания заслуживают исключительного внимания.

Превосходный рассказ Блэка делает излишней всякую попытку пересказывать его здесь. Однако существует несколько замечаний, которые могут представлять интерес. Исходная точка в работе Борда — факт, что голосование относительным большинством при выборе из нескольких кандидатов может легко привести к весьма неразумному выбору. Его основная идея — которая, как мне кажется, является решающей во всех последующих работах — для коллективного решения нужно полное упорядочение индивидуальных избирателей по альтернативным кандидатам. Борда предлагает метод подсчета очков, как описано на в разделе 3.3 данной книги. Это, по наблюдению Борда, приписывает одинаковые веса различиям между соседними по рангу кандидатами, равно как и различным избирателям. Первое поднимает, таким образом, проблему измеримости полезности, второе — проблему межличностных сравнений. Он оправдывает первый шаг доводом, по сути основанным на незнании. Если избиратель ранжирует В так, что он оказывается между А и С, тогда у нас столько же причин предположить, что различие в интенсивности между А и В больше, чем различие в интенсивности между В и С, сколько предположить, что оно меньше. Суммирование голосов различных индивидуумов оправдано равенством избирателей. Эти темы продолжают возникать в научном обсуждении. Довод Л. Гудмана и X. Марковица (пр.124) можно считать реализацией аксиоматического оправдания позиции Борда.

Согласно наблюдениям Гранджера и Блэка, у Кондорсе, на самом деле, было два различных подхода. Один, наиболее совпадающий с дальнейшими разработками в этой области и с работами Борда, принес в качестве основного достижения так называемый критерий Кондорсе, состоящий в том, что должен быть избран кандидат, получивший большинство голосов по сравнению с любым другим.

Это означает неявное принятие точки зрения, которую я назвал независимостью от посторонних альтернатив (см. раздел 3.3). В этом контексте Кондорсе открыл, что попарные сравнения большинством могут привести к отсутствию транзитивности и, следовательно, к неопределенности коллективного выбора. Кондорсе предложил некоторые способы для решения этой проблемы в общем случае, но более поздние авторы не считают его предложения внятно изложенными. Второй подход тесно связан с теорией присяжных, которую изучали Кондорсе и другие. Здесь речь идет о том, что голосующие являются присяжными и выносят решение по поводу истинности некоторого утверждения, а не просто выражают собственное предпочтение. Эта позиция, по сути, является стохастической версией идеалистической позиции, которая уже обсуждалась (см. раздел 7.3).

Работы Нансона и Доджсона заслуживают упоминания, хотя мы вынуждены отослать читателя за более полным рассмотрением к труду Блэка и первоисточникам. Оба они критиковали различные известные методы голосования, преимущественно в терминах несоответствия критерию Кондорсе. Большинство предложенных методов не удовлетворяют этому критерию, в том числе и метод Борда, состоящий в подсчете очков. Нансон предлагает следующую процедуру, основанную на упорядочении каждым избирателем всех кандидатов. Сначала кандидаты ранжируются в соответствии с упорядочениями кандидатов избирателями. Затем отбрасывают всех, кто получил общее число голосов меньше среднего значения. Оставшиеся кандидаты опять ранжируются, и этот процесс повторяется, пока не будет отобран единственный кандидат. Нансон показал, что если существует кандидат, набравший большинство голосов по сравнению с каждым из остальных, то он будет выбран. Конечно, парадокс голосования не снимается этим способом.

Доджсон полностью признает критерий Кондорсе, тем более, что он приходит к заключению, что если сохраняется проблема циклического большинства, то "вообще не должно быть выборов" (пр.125). Эта позиция довольно любопытна. Действительно, Доджсон где-то еще проницательно отмечает, что "отсутствие выборов", если считать его допустимой альтернативой, следует рассматривать наравне со всеми кандидатами (пр.126). Это представляется плохо совместимым с предыдущим утверждением, но указывает, однако, на важную эмпирическую истину, особенно в отношении вопросов законодательства: status quo имеет изначальное преимущество перед всеми альтернативными предложениями.

Интересно, что при обсуждении альтернативных предложений в случае циклического большинства (пр.127) он подчеркивает неразумность их заключений на основании другого критерия, а именно, кандидат, у которого будет большинство голосов по сравнению со всеми остальными при наименьшем числе перестановок упорядочений по шкалам индивидуальных предпочтений, не будет избран. Это соображение можно возвести в принцип выборов, если не допускать возможность альтернативы "отсутствие выборов" или не желать отдать ей предпочтение по сравнению с другими. В принципе, особенно с использованием вычислительных машин, сам по себе этот критерий обеспечивает способ отбора кандидатов. Я не знаю, есть ли простой способ охарактеризовать этот метод. В случае трех кандидатов он совпадает с методом Нансона.

8.2. Формулировка условий и новое представление доказательства

Этот раздел состоит из ряда различных замечаний по формальной стороне данной теории. Во-первых, я покажу, что некоторые условия можно заменить принципом Парето (единогласие индивидуальных предпочтений ведет к коллективному предпочтению). Поскольку принцип Парето общепризнан, новый набор условий легче сравнивать с другими формулировками проблемы коллективного выбора. Во-вторых, я привожу, как мне кажется, самую простую формулировку доказательства того, что условия несовместны. В-третьих, я ввожу другие, более сильные условия, ведущие к некоторым правилам большинства. Этими разработками я обязан Мэю и Мураками. Наконец, я прокомментирую неточность в первоначальной формулировке теоремы, обнаруженную Блау.

8.2.1. Принцип Парето и ограничения на функцию общественного благосостояния

Принцип Парето первоначально приведен в тексте (раздел 4.1) как одна из форм принципа компенсации. Здесь мы приводим его в слегка более слабой форме (включая только строгие предпочтения).

Условие П. Если хРiу для всех i, тогда хРу.
(Если каждый индивидуум предпочитает альтернативу х альтернативе у, тогда и группа предпочитает то же).

Чтобы удовлетворить важному возражению, выдвинутому Блау (пр.128), о котором пойдет речь в подразделе 8.2.4, мы также заменим условия 1 и 2 более сильными.

Условие 1'. Все логически возможные упорядочения альтернативных социальных состояний допустимы.

Условие 2'. Пусть для данной пары альтернатив х и у заданы индивидуальные предпочтения. (Согласно условию 3, этого достаточно, чтобы определить коллективное упорядочение). Допустим, что ранг х повысился в некоторых или во всех индивидуальных предпочтениях. Тогда, если альтернатива х изначально была социально предпочтительнее, чем у, то она останется таковой после изменения ее позиции.

Условие 1' излишне сильное, но оно будет полезно, поскольку позволит дать более простое доказательство. Условие 2' эквивалентно условию 2 при выполнении условий 1' и 3.

Отметим теперь, что имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Условие П выводится из условий 2', 3 и 4 (положительная связь коллективных и индивидуальных оценок, независимость от посторонних альтернатив и суверенитет граждан).

Действительно, условие П идентично следствию 3 (раздел 5.3). Следствие 1 (доказательство которого включает ошибку, обнаруженную Блау) идентично условию 2'. Внимательное прочтение доказательств следствий 2 и 3 (раздел 5.3) показывает, что они зависят только от условий 2', 3 и 4. В подразделе 8.2.2 будет показана несовместность условий 1', 3, П и 5. Поскольку условие П следует из условий 2', 3 и 4, то появится несовместность условий 1', 2', 3, 4 и 5. Однако новый перечень условий будет легче сравнить с другими формулировками проблемы коллективного выбора; это сравнение проведено в подразделе 8.3.1 (пр.129).

8.2.2. Доказательство общей теоремы о возможности

(пр.130)

В этом подразделе мы продемонстрируем следующее.

Теорема 2. Условия 1', 3, П и 5 несовместны (пр.131).

Следовательно, замена принципа Парето на условия 2 и 4 не влияет на несовместность, показанную в тексте. Более того, поскольку условие П следует из условий 2, 3 и 4, как показано в подразделе 8.2.1, это доказательство также представляет собой доказательство теоремы, показанное в тексте (кроме замены более сильного условия 1' на условие 1). Это доказательство и, на самом деле, любое известное мне доказательство не отличаются по существу от того, что приведено в тексте, но мне кажется, что общая идея доказательства и роль различных условий здесь несколько более очевидны.

Мы используем несколько иное определение решающего множества, чем то, что было в тексте книги (определение 10, раздел 5.3). Множество индивидуумов V является решающим для х против у, если х коллективно выбрано, когда каждый индивидуум в V предпочитает альтернативу х альтернативе y и каждый индивидуум, не входящий в V, предпочитает альтернативу у альтернативе х.

Доказательство распадается на две части. Сначала показывается, что если индивидуум является решающим для некоторой пары альтернатив, тогда он — диктатор, что исключено условием 5; тогда сама теорема о невозможности легко выводится из результата первой части и принципа Парето.

Будет показано, что из предположений коллективной рациональности (условие 1 вместе с определением функции общественного благосостояния), принципа Парето и независимости от посторонних альтернатив (условие 3) следует, что индивидуум, являющийся решающим для некоторой пары альтернатив, должен быть диктатором. Выделим одного индивидуума, названного I, и введем следующие обозначения для утверждения относительно функции общественного благосостояния, или конституции:

(1) хDу означает, что альтернатива х коллективно предпочитается альтернативе у, когда I предпочитает альтернативу х альтернативе у, независимо от упорядочения альтернатив другими индивидуумами;

(2) xDy означает, что альтернатива х коллективно предпочитается альтернативе у, если индивидуум I предпочитает альтернативу х альтернативе у, а все прочие индивидуумы имеют противоположное предпочтение.

Это обозначение — единственно верное в силу условия 3, так как оно гарантирует, что выбор между х и у зависит только от предпочтений всех индивидуумов относительно этих двух альтернатив. Если условие 2 принимается, эти два понятия эквивалентны (см. следствие 2, раздел 5.3), но вместо него мы принимаем теперь принцип Парето.

Отметим, что из утверждения xDy вытекает xDy и что xDy — то же самое, что утверждение, что I— решающее множество для х против у.

Теперь предположим, что xDy выполняется для некоторых х и у. Сперва предположим, что существуют всего лишь три альтернативы. Пусть третья альтернатива будет z. Предположим, что I упорядочивает альтернативы х, у, z в порядке убывания, в то время как все прочие индивидуумы предпочитают у обеим альтернативам х и z, но могут иметь любые предпочтения относительно последних двух. Тогда I предпочитает альтернативу х альтернативе у, в то время как все остальные предпочитают альтернативу у альтернативе х; согласно (2), это означает, что хРу. Все индивидуумы предпочитают альтернативу у альтернативе z; согласно условию П, yPz. Тогда из транзитивности следует, что xPz, но тогда это выполняется всякий раз, когда xPIz, независимо от упорядочений других индивидуумов. Символически это можно выразить так:

(3) из xDy вытекает xDz.

Снова предположим, что xDy, но теперь допустим, что I упорядочивает альтернативы z, х, у, в то время как все прочие индивидуумы предпочитают обе альтернативы z и у альтернативе х. Аналогично показываем, что хРу и zPx, так что zPy:

(4) из xDy следует zDy.

Перестановкой у и z в (4) получаем:

(5) из xDz следует уDz.

Заменяя х на y, у на z и z на х в (3), получаем:

(6) из yDz вытекает уDх.
Поскольку из xDz вытекает xDz и из yDz вытекает yDz, можно вывести с помощью цепочки (3), (5) и (6):

(7) из xDy следует уDх. Если поменять местами х и у в (3), (4) и (7), получаем:

из yDx следует yDz,

из yDx следует zDx,

из уDх следует xDy,
и пользуясь такой же цепочкой рассуждений, совместно с (7) получим:

(8) из xDy вытекает уDz, zDх и xDy.
Вместе взятые (3), (4), (7) и (8) можно кратко сформулировать так:

(9) если xDy, тогда uDv выполняется для каждой упорядоченной пары u, v из трех альтернатив х, у, и z,
т.е. индивидуум I—диктатор для трех альтернатив.

Благодаря условию 1', можно распространить этот результат на любое число альтернатив, согласно аргументации Блау (пр.132). Предположим, что выполняется aDb, и пусть х и у — любая пара альтернатив. Если х и у — те же, что а и b либо в том же, либо в обратном порядке, то добавим третью альтернативу с к альтернативам а и b; тогда можно применить (9) к тройке а, b, с и вывести хDу, допустив, что u = х, v = у. Если в точности одна альтернатива из х и у отлична от а и b, добавим ее к а и b, чтобы образовать тройку, к которой опять применимо условие (9). Наконец, если обе альтернативы х и у отличны от а и b, потребуется сделать два шага.

Во-первых, добавим х к а и b и выведем из (9), что aDx и поэтому aDx. Тогда, снова применив (9) к тройке а, х, у, обнаружим, что xDy. Таким образом, из aDb для некоторых а и b вытекает, что xDy для всех х и у, т.е. что индивидуум I — диктатор. Из условия отсутствия диктатуры (условие 5) можно заключить, что:

(10) xDy не может выполняться ни для какого индивидуума I и ни для какой пары х, у.

Конец доказательства представляет собой теперь соответствующую адаптацию парадокса голосования. Согласно условию П, существует, по крайней мере, одно решающее множество для любой упорядоченной пары х, у, а именно множество всех индивидуумов. Среди множества всех индивидуумов, которое является решающим для некоторой пары, выберем такое, чтобы не было меньше его; согласно (10) оно должно содержать, по крайней мере, двух индивидуумов. Пусть V— выбранное множество, и пусть упорядоченной парой, для которой оно является решающим, будут х, у. Разделим V на две части: V1, содержащую единственного индивидуума, и V2, содержащую всех остальных. Пусть V3 — множество индивидуумов, не входящих в V. Рассмотрим теперь случай, где порядок предпочтения V1 — х, у, z; в V2 — z, х, у; в 3 — у, z, х.

Поскольку V — решающее за х против у и все члены V предпочитают альтернативу x альтернативе у, в то время как у всех прочих — противоположное предпочтение, имеет место хРу. С другой стороны, невозможно, чтобы общество предпочло альтернативу z альтернативе у, поскольку это требует, чтобы V2 было решающим в этом случае, что невозможно, поскольку в V2 меньше членов, чем в V, у которого, по построению, самое меньшее число членов, какое только может быть у решающего общества. Следовательно, выполняется yRz, и, поскольку хРу, группа должна предпочесть альтернативу х альтернативе z. Но тогда единственный член V1 оказался бы решающим, и мы доказали, что это невозможно.

Таким образом, обнаружено противоречие.

8.2.3. Принципы равенства и нейтральности

Поскольку условия, приведенные в тексте, а также в предыдущем подразделе, несовместны, нет особенного смысла усиливать ни одно из них, не выбросив какое-то другое. Один из подходов, наиболее согласованный с практикой выборов, состоит в ослаблении или отказе от условия коллективной рациональности. Гюйбо (пр.133) ослабляет это условие, требуя только избежания противоречий по двум соседним решениям (а не по трем, когда в полной мере проявляется транзитивность). Он проводит свой анализ в предположении, что правила принятия решений между любыми двумя альтернативами одинаковы. Это предположение позднее назвали "нейтральностью", его можно формально определить следующим образом.

Условие нейтральности. Пусть Т(х) — взаимно-однозначное преобразование множества альтернатив в самого себя, которое сохраняет все индивидуальные упорядочения. Пусть множество S преобразовано в множество S' с помощью преобразования Т. Тогда коллективный выбор из S, C(S), преобразуется с помощью Т в коллективный выбор С(S') из множества S'.

Если ограничить себя выбором между парами альтернатив, нейтральность утверждает, по сути, что решающие множества для одной пары альтернатив будут такими же, как и для другой.

При выполнении условия нейтральности Гюйбо показывает, что его более слабая форма условия коллективной рациональности требует, чтобы правила были полностью определены решающим множеством вместе с условием, что расширение решающего множества приводит к другому решающему множеству и что множество всех индивидуумов является решающим. Гюйбо стремится отбросить предположение нейтральности и доказывает, что можно распространить предыдущий результат введением фиктивных индивидуумов, чьи предпочтения заранее определены. Затем используются те же результаты, за исключением того, что решающие множества могут содержать этих идеальных избирателей (пр.134).

Условие нейтральности не является интуитивно основным, хотя можно ожидать, что оно будет сохранено в широком диапазоне обычных решений, для особых решений на практике всегда требуются особые правила (особые формы большинства, например). К.О. Мэй (пр.135) объединил нейтральность со вторым, причем более важным, условием.

Условие равенства. Перестановка индивидуальных упорядочений между индивидуумами не изменяет коллективного выбора.

Мэй добавляет к этим условиям требование, чтобы коллективный выбор был корректно определен и выполнялся несколько более сильный вариант положительной связи коллективных и индивидуальных оценок. Для случая предпочтения (попарного выбора), которым он ограничил свое исследование (пр.136), он показал, что голосование большинством — единственный способ построения коллективных решений, удовлетворяющий его условиям (пр.137).

Ясно, что условие равенства весьма привлекательно; оно также тесно связано с категорическим императивом Канта.

Мураками (пр.138) обобщил результаты Мэя, использовав некоторые теоремы относительно логических функций. Условие, что коллективный выбор на парах должен быть корректно определен, и условие 2' (см. подраздел 8.2.1) обеспечивают, что коллективное предпочтение определяется обобщенной формой правила большинства. Более конкретно, определена последовательность шагов, на каждом из которых решение принимается правилом большинства, но результат одного шага может быть использован как избирательный бюллетень на следующем, и, кроме того, некоторые избирательные бюллетени с заранее предписанными результатами могут добавляться к бюллетеням реальных индивидуумов. Если к этому добавлено требование нейтральности, то бюллетени с предписанными результатами можно уничтожить (пр.139).

8.2.4. Ошибка в формулировке общей теоремы о возможности

Блау указал на то, что общая теорема о возможности некорректно сформулирована (пр.140). Трудность доказательства возникает при попытке свести общую проблему к случаю трех альтернатив; в частности условия 2 и 5 неявно предполагаются выполненными для трехэлементного подмножества, что упомянуто в условии 1; однако условия могут выполняться для множества альтернатив и не выполняться для подмножества. Если условия 1 и 2 заменить условиями 1' и 2', то, как указывает Блау, эту трудность удается обойти, как показано в данном подразделе. Но условие 1' является сильным условием, что видно из рассуждений, приведенных в тексте (раздел 3.1).

Мураками (пр.141) предложил в качестве альтернативы усилению условия 1 слабое определение диктатора (и тем самым усиление условия отсутствия диктатора).

Условие 5'. Среди троек альтернатив, удовлетворяющих условию 1, имеется, по крайней мере, одна, по которой ни один из индивидуумов не является диктатором.

Тогда доводы из подраздела 8.2.2 при небольшом видоизменении приводят к следующей теореме.

Теорема 3. Условия 1, 3, П и 5' несовместны.

Условие 5' — весьма разумное расширение понятия диктатор; его отрицание практически означает то, что существует диктатор для каждого выбора, по которому может быть реальное разногласие.

8.3. В чем проблема коллективного выбора?

Ряд выдающихся критиков доказывали, в той или иной форме, что проблема коллективного выбора поставлена в данной книге некорректно (пр.142). Я теперь постараюсь доказать, что эта критика основана на неверном понимании моей позиции и полном погружении критиков в собственные позитивные взгляды. При более внимательном изучении все эти критики неявно принимают главные принятые здесь формулировки: коллективный выбор в любом множестве представляет собой агрегирование индивидуальных предпочтений. Настоящей почвой для разногласий являются условия, которые разумно накладывать на процедуры агрегирования, но даже здесь возможно показать, что пределы разногласий не столь велики, как можно было бы предположить, судя по некоторым наиболее резким высказываниям.

8.3.1. Оценки благосостояния

Заслуженно считающаяся классической статья Бергсона (пр.143), опубликованная в 1938 г., стала образцом, на котором развивалось последующее обсуждение темы, в том числе и мои рассуждения. Она представляет собой рафинированную форму классического утилитаризма, но такого, который, по крайней мере, рассматривает проблему соизмеримости полезности для различных индивидуумов.

Несмотря на опасение утомить читателя очевидными соображениями, позвольте повторить логику оценки благосостояния, выкристаллизованную в формулировках Бергсона. Любое коллективное решение имеет последствия для отдельных членов группы. Прежде всего делается допущение, что для каждого индивидуума существует способ оценки этих последствий; мы пока не уточняем, является ли оценка кардинальной или ординальной. Но при этом существуют столько же оценок, сколько индивидуумов в группе. Классический утилитаризм неявно, а Бергсон явно призывают к оценке второго порядка, которую я называю здесь оценкой благосостояния. Это — оценка последствий для всех индивидуумов, основанная на оценках индивидуумов, а именно, если по оценке каждого индивидуума два набора последствий безразличны, то оценка благосостояния по этим двум состояниям также должна быть безразличной.

Оценки индивидуума, таким образом, — это сырье, из которого производят оценки благосостояния. Как хорошие экономисты, рассмотрим внимательнее технологию процесса преобразования и чувствительность результата к вариациям на входе.

Совокупность оценок благосостояния по всем возможным множествам определена шкалами индивидуальных оценок, или индивидуальными упорядочениями социальных состояний, если использовать терминологию данной книги. Этот пункт был принят и даже усиленно продвигался Бергсоном и Литтлом, хотя акценты расставлялись совершенно по-разному. Они доказывают, что функция общественного благосостояния (в случае Бергсона) принимает предпочтения индивидуумов как данность. При заданном наборе индивидуальных упорядочений процедура Бергсона сначала связывает каждое упорядочение с соответствующим показателем полезности, а затем определяет функцию, переменными которой являются индивидуальные полезности, а значениями — общественная полезность. Но предположительно такая функция общественного благосостояния могла бы быть сопоставлена с любым заданным набором индивидуальных упорядочений. Если подставить новый набор индивидуальных упорядочений, то получим, по терминологии Бергсона, новую функцию общественного благосостояния, т.е. новую формулу для определения всех возможных оценок благосостояния.

Такая формулировка ни в чем не отличается от моей — к каждому заданному набору индивидуальных упорядочений привязана функция коллективного выбора (см. определение 4, раздел 3.1) (пр.144). Возможно, мне было бы лучше использовать иной термин, чем "функция общественного благосостояния", для процесса определения коллективного упорядочения или функции выбора из индивидуальных упорядочений, хотя различие между определением Бергсона и моим определением весьма тщательно прописано (раздел 3.1). Поэтому я теперь использую термин "конституция", как предложили Кемп и Асимакопулос (пр.145). Но различие в основном терминологическое: чтобы получить функцию общественного благосостояния, в понимании Бергсона, нужна конституция (пр.146).

Суть критики Бергсона — Литтла касается не проблемы формулировки коллективного выбора как выбора конституции, а приемлемости используемого мной конкретного набора условий. Эти условия двух видов: относящиеся к функции коллективного выбора, порожденной любым заданным набором индивидуальных упорядочений, и относящиеся к способу коллективного выбора, изменяющемуся в зависимости от изменений индивидуальных упорядочений. Именно последний набор и отвергают Бергсон и Литтл. Это очень четко видно у Литтла: "Если предпочтения изменяются, можно ожидать нового упорядочения всех мыслимых состояний; но мы не требуем, чтобы различия между новым и старым упорядочением имели какое-то определенное отношение к происшедшим изменениям предпочтений. У нас, так сказать, новый мир и новый порядок, и мы не требуем соответствия между изменением мира и изменением порядка" (пр.147).

Насколько весом этот пункт, можно яснее увидеть из нового набора условий, приведенных в разделе 8.4. Следует отметить, что из остальных условий два, коллективная рациональность и принцип Парето, удовлетворяются функцией общественного благосостояния Бергсона, а третье, отсутствие диктатуры, едва ли вызывает какие-то серьезные вопросы.

Поэтому я делаю вывод, что формулировка проблемы коллективного выбора как выбора конституции не только совместима со взглядами таких критиков, как Бергсон, Литтл и Кемп, но на самом деле является логическим следствием их позиции.

8.3.2. Процесс коллективного решения

Литтл (пр.148) убедительно доказывал, что правило принятия коллективного решения не является тем же самым, что оценка благосостояния. Оценка благосостояния требует, чтобы какой-то человек был судьей; с правилом принятия коллективного решения можно согласиться по причинам удобства и необходимости, без того чтобы результаты нужно было рассматривать как оценки, сделанные каким-то конкретным лицом.

Это разграничение является достаточно принятым. Я считал бы это, действительно, процессом коллективного решения, которым я занимаюсь, а не оценкой благосостояния каким бы то ни было индивидуумом. При этом, однако, я вынужден добавить, что, с моей точки зрения, процесс коллективного решения служит толкованием интуитивной идеи общественного благосостояния. Классические проблемы формулировки понятия "социальное благо" имеют действительно метафизическое многообразие, которое современный позитивизм находит бессмысленными, но лежащий в основе вопрос вполне реален. Моя собственная точка зрения на эту и другие этические проблемы совпадает с выраженной Поп-пером: "Есть немало доктрин метафизического характера, и, таким образом, безусловно, философских, которые можно интерпретировать как наделение самостоятельным бытием методологических правил" (пр.149). Все авторы, начиная с Бергсона, сходятся в том, что следует избегать понятия "социальное благо", не определенного в терминах оценок индивидуумов. Но там, где Бергсон стремится обнаружить коллективные оценки в оценках благосостояния индивидуумами, я предпочитаю обнаруживать их в действиях, предпринимаемых обществом по его правилам принятия коллективных решений. Эта позиция является естественным расширением ординалистского взгляда на оценки; в точности как в этом подходе идентифицируют оценки и выбор индивидуумов, так я рассматриваю коллективные оценки, считая их не означающими ничего, кроме коллективного выбора.

На самом деле, формулировку Бергсона невозможно отличить от интерпретации социального благосостояния в терминах процессов принятия коллективного решения. Прежде всего, аргументация подраздела 8.3.1 показывает, что функция общественного благосостояния Бергсона непременно является конституцией, т.е. потенциально процессом принятия коллективного решения; основная часть оценок благосостояния, сделанных отдельным индивидуумом, определена фактически процессом принятия коллективного решения, которое индивидуум хотел бы заставить принять группу, если бы мог. Во-вторых, обнаружение оценок благосостояния каким-то индивидуумом, хотя логически возможно, не представляет особого интереса. "Общественное благосостояние" относится к социальной политике в любом разумном толковании, а оценки благосостояния, сформированные каким-то единичным индивидуумом, не связаны с действием и потому бесплодны. Бергсон признает возможные трудности в статье 1954 г., откуда я приведу достаточно длинную цитату, которая хорошо иллюстрирует этот вопрос.

"Я предполагаю, что экономика благосостояния озабочена тем, чтобы советоваться с отдельными гражданами. Если советуются с официальным лицом, то это происходит на той же основе, как и с любым другим гражданином. В каждом из этих случаев исходят из некоторых этических оценок, которые определяют, к какому индивидууму обращаются за советом. Всем этим, как мне кажется, я только выражаю в общем виде цели публикаций по вопросам благосостояния, а если это не является целью, то, по моему мнению, должно ею стать. Но некоторые могут быть тем не менее склонны к иному мнению, которое позволит дать иную трактовку теоремы Эрроу. Согласно этому взгляду, проблема состоит в том, чтобы советоваться не с гражданами вообще, а с официальными лицами. Более того, оценки, принимаемые как данные, не являются теми, которыми руководствовались бы эти деятели, если бы были частными лицами. Вместо этого считается, что официальное лицо этически более или менее нейтрально. Его единственной целью в жизни является воплощение оценок других граждан, заданных каким-то правилом коллективного принятия решений. Теорема Эрроу с очевидностью внесла в такого рода экономику благосостояния негативное открытие, что не существует совместного коллективного упорядочения, чтобы служить критерием общественного благосостояния при обращении за советом к официальному лицу, о котором шла речь" (пр.150).

Мне остается только добавить, что моя интерпретация проблемы коллективного выбора полностью соответствует тому, что сказано Бергсоном, начиная с места, выделенного курсивом.

Там, где Бергсон, Литтл и я стараемся разными способами трактовать понятие общественного благосостояния в операциональных терминах, в позитивизме Бьюкенена больше экстремизма (пр.151). Выбор — только индивидуален; само понятие общественного благосостояния недопустимо, а мое использование термина "коллективная рациональность" (под которой я подразумеваю, что варианты коллективного выбора, соответствующие любому заданному набору индивидуальных упорядочений, взаимосвязаны настолько, чтобы удовлетворять определению упорядочения) подверглось яростной атаке на основании того, что только индивидуумы могут быть рациональны (пр.152). Тем не менее Бьюкенен и Таллок (пр.153) делают упор на выбор конституции как центральный шаг в развитии механизма коллективного выбора.

8.3.3. Экономика благосостояния, компенсация и взаимообмен голосами

В отличие от обсуждавшейся в последних двух подразделах критики, которая поднимала важные смысловые вопросы, мне кажется, что то, что я собираюсь обсуждать сейчас, является просто элементарной путаницей или игрой слов. Литтл, Бергсон и Мишан дружно соглашаются, что моя теорема не является частью экономики благосостояния: "Работа Эрроу неуместна в традиционной теории экономики благосостояния, кульминацией которой является формулировка Бергсона — Самуэльсо-на" (Литтл); "Теорема имеет мало отношения к экономике благосостояния или вообще его не имеет" (Бергсон) (пр.154), Наиболее очевидным замечанием, которое можно сделать, является то, что трудно придумать менее интересный вопрос по поводу моей теоремы, чем ее нахождение по ту или иную сторону произвольной границы, разделяющей области знания. Поскольку Литтл и Бергсон (а также Самуэльсон, согласно утверждению Литтла) признают функцию общественного благосостояния Бергсона частью экономики благосостояния, то обратим внимание, что аргументация последних двух подразделов показала искусственность любых попыток отделить экономику благосостояния, в их понимании, от теории коллективного выбора. И уж в самом крайнем случае экономика благосостояния, как бы ее ни определять, имеет отношение к принятию обществом экономической политики, поэтому трудно понять, как любое изучение формирования коллективных решений может "быть неуместным" или "не иметь отношения" к экономике благосостояния.

Более естественной границей между экономикой благосостояния и теорией коллективного выбора, если в определении этой границы вообще есть смысл, является определение первой как следствий Парето-оп-тимальности. Мне кажется, это имел в виду Мишан, выкидывая мой труд из почетных владений экономики благосостояния. В терминах, используемых в данной книге, вместо поиска коллективного упорядочения мы ограничиваем себя единогласным квазиупорядочением.

Конечно, как многократно повторялось в литературе, эта "новая экономика благосостояния" ничего не говорит о выборе между Парето-оптимальными альтернативами (пр.155). Целью функции общественного благосостояния как раз и было расширение единогласного квазиупорядочения до полного коллективного упорядочения.

Принцип компенсации, основанный на новой экономике благосостояния, не является адекватной заменой коллективному упорядочению, как было показано Ситовски, Баумолем и другими (пр.156). Но он снова был использован Бьюкененом и Таллоком в их построении. Они весьма корректно доказывают, что торговля голосами по различным вопросам (взаимообмен голосами), по сути, эквивалентна выплате компенсации, но не в состоянии признать неоднозначность принципа компенсации как процесса коллективного решения. Таллок заходит так далеко, что утверждает, что "в процессах, где идет торговля голосами... конкретный тип иррациональности, описанный Эрроу, невозможен" (пр.157). Кажется, что у него впечатление, будто я описываю процедуру для решения отдельных вопросов без всякого учета дополнительности и замещения между ними. Это просто неправильное прочтение. Я занимался, как и те, кто пишет о принципе компенсации, выбором между социальными состояниями, а социальное состояние — это целая кипа проблем, и я заранее предположил, что все возможные комбинации решений по отдельным вопросам рассматриваются как альтернативные социальные состояния. Входящий сюда взаимообмен голосами казался мне столь очевидным, что не стоил упоминания. Парадокс коллективного выбора не может быть так легко разрешен (пр.158).

8.4. Независимость от посторонних альтернатив и межличностные сравнения интенсивности

8.4.1. Ординализм, наблюдаемость и независимость от посторонних альтернатив

Существенным пунктом нынешнего акцента на ординальную полезность является применение принципа Лейбница относительно идентичности неразличимых предметов. Только наблюдаемые различия можно использовать как основу для объяснения. В области теории потребительского спроса позиция ординалистов, как оказалось, не создает проблем, у кардинальной полезности не больше описательной силы, чем у ординальной.

Большой заслугой статьи Бергсона 1938 г. (пр.159) является то, что она вносит тот же принцип в анализ общественного благосостояния. Функция общественного благосостояния должна была зависеть только от карт безразличия, другими словами, оценки благосостояния должны были основываться только на наблюдаемом межличностном поведении.

Условие независимости от посторонних альтернатив распространяет требование наблюдаемости на шаг дальше. При данном множестве альтернатив, доступных для выбора, можно было бы ожидать, что в идеале можно наблюдать все предпочтения среди доступных альтернатив, но не будет способа наблюдать предпочтения между недопустимыми для группы альтернативами.

Жесткость этого условия, возможно, больше, чем необходимо. Во многих ситуациях у нас есть информация о предпочтениях для недопустимых альтернатив. Можно доказывать, что при доступности эта информация должна использоваться для коллективного выбора, и некоторые возможности в этом направлении будут кратко прокомментированы в следующих подразделах. Но очевидно, что у процессов коллективного решения, независимых от посторонних альтернатив, есть значительное практическое преимущество. В конце концов все известные избирательные системы удовлетворяют этому условию.

Возможно, стоит упомянуть более явным образом, чем в тексте, что рыночный механизм также действует независимо от посторонних альтернатив. Если мы меняем функции полезности индивидуумов с учетом распределений, которые социально неосуществимы, мы не меняем конкурентное равновесие. Действительно, децентрализация знания, которая является таким преимуществом рыночного механизма, несовместима с использованием сравнений полезности между посторонними альтернативами при распределении ресурсов (пр.160).

Этот подраздел можно завершить кратким конспектом некоторых выводов Гюйбо и Инады, где несколько по-иному рассмотрен скрытый смысл независимости от посторонних альтернатив. Гюйбо (пр.161) доказывает, что функция общественного благосостояния, основанная на индивидуальных полезностях, которые осмыслены только с точностью до монотонных преобразований, должна быть функционалом в математическом смысле, а не просто обычной функцией. Иначе говоря, каждый коллективный выбор должен зависеть от всего индивидуального упорядочения. Инада (пр.162) приходит к аналогичному результату: если функция общественного благосостояния должна быть определена на основе индивидуальных упорядочений, то предельные социальные нормы замещения между распределением товаров индивидуумам не могут быть определены исключительно из индивидуальных предельных норм замещения этого блага; даже локальный коллективный выбор должен зависеть от индивидуальных предпочтений в целом (пр.163).

8.4.2. Невозможность чисто этических сравнений

Бергсон в обеих своих статьях стоит на позиции, что межличностные сравнения имеют чисто этический характер. Это просто иной способ сказать, что только индивидуальные карты безразличия (а не кардинальные полезности) используются для формирования оценок благосостояния. Однако особенно во второй статье его толкование обнаруживает возникающие здесь трудности (пр.164). Он подходит очень близко к признанию имеющего смысл эмпирического межличностного сравнения: "Окончательный критерий должен быть совершенно приемлемым относительно сравнительной степени, в которой потребности различного уровня удовлетворяются для различных индивидуумов... Предполагается, что все члены общества упорядочивают социальные состояния согласно этическим посылкам, гласящим, что распределение должно осуществляться в соответствии с потребностью". Содержательность понятий "потребность различных порядков" или "потребность" кажется зависящей от эмпирического сравнения. Но затем Бергсон уходит от него: "Может даже понадобиться сравнить попарно по отдельным этическим посылкам все кривые безразличия для каждого домохозяйства со всеми кривыми для каждого другого". Позднее, хотя и не отвергая категорически существование содержательных эмпирических межличностных сравнений, он подчеркивает, что чисто этические сравнения адекватны для формирования коллективных оценок благосостояния: "Критерий должен быть по своему характеру этическим. Это само по себе не исключает эмпирической сравнимости, но означает, что даже при этом предположении следует определить, почему критерий является этически обязательным... Если можно усовершенствовать утилитарный критерий этической сравнимостью, тогда должно быть также возможно сделать это и без него" (пр.165).

Кажется, что последнее предложение следует почти перевернуть. Если не существует эмпирического способа сравнения двух состояний (скажем, кривых безразличия двух различных индивидуумов), может не быть этических способов различения их. Оценки могут уравнять эмпирически различимые явления, но не могут эмпирически различать неразличимые состояния. Попарное сравнение кривых безразличия, о которых речь шла выше, требует, чтобы имелся некоторый операциональный смысл такого сравнения, хотя бы и идеальный.

8.4.3. Межличностные сравнения и расширенные карты безразличия

Если эмпирически осмысленные межличностные сравнения должны, как мы доказывали, основываться на картах безразличия, тогда вынужденно нарушается независимость от посторонних альтернатив. Информация, позволяющая нам убедиться, что индивидуум А предпочитает альтернативу х альтернативе у сильнее, чем В предпочитает альтернативу у альтернативе х, должна быть основана на сравнениях индивидуумами А и В этих альтернатив не только между собой, но и с другими альтернативами.

На самом деле, карта безразличия, которую следует использовать, будет, возможно, содержать много больше измерений, чем можно обычно рассмотреть. Словесное или иное выразительное поведение могло бы быть, возможно, добавлено к наиболее привычным для экономистов сравнениям наборов. Трудно не попасть под влияние такой психологической работы, как работа С.С. Стивенса (пр.166), которому удалось найти кардинальную шкалу для такого явления, как интенсивность путем опроса: к какому их двух эталонных типов записи ближе данная запись. Очевидно, что присутствует сходство (лучше сказать, идентичность) с известным направлением мысли, идущим от Парето, оправдывавшим кардинальную полезность на основе ординальных сравнений вменений от одного вектора товаров к другому (пр.167).

Стратегия выведения эмпирически, а затем и этически осмысленных межличностных сравнений, очевидно, должна осуществляться следующим образом: 1) система предпочтений индивидуума изучается с учетом многих посторонних альтернатив, причем далеко за пределами, насущно важными для индивидуального выбора; 2) эту более широкую область выбора можно, конечно, представить функциями полезности, хотя они, в принципе, определены только с точностью до монотонных преобразований. На самом деле, наиболее естественно ввести множество функций полезности, достаточно ограниченных, чтобы определить кардинальную полезность (как при использовании кардинальной полезности в объяснении риска); 3) наконец, одно из различий в полезности становится широко признанным как имеющее межличностное этическое значение и может быть использовано для получения этических межличностных уравнений различий в полезности, которые нельзя сравнить непосредственно.

Простой иллюстрацией вышесказанного может быть предположение Даля (пр.168) о том, что голосование и другие формы политической деятельности можно принять за межличностную меру интенсивности предпочтений. Разумеется, по предположению, акт голосования сам по себе имеет отрицательную полезность. Пусть х и у — два альтернативных социальных состояния, пусть v — акт голосования и пусть (х, v) — комбинация социального состояния х и акта голосования. Если индивидуум предпочитает (х, v) альтернативе у, тогда его предпочтение альтернативы х альтернативе у должно быть, по крайней мере, велико настолько, чтобы перекрыть отрицательную полезность акта голосования. Можно найти семейство показателей полезности на объединенном пространстве социальных состояний и акта голосования. Предположим, в частности, что можно найти один показатель полезности, для которого социальное состояние и акт голосования независимы, т.е. их полезности аддитивны. Значит, говоря, что (х, v) предпочитают альтернативе у, говорят, что:

U(x) - c(v) > U(y),
где U — полезность, приписанная социальному состоянию, а с(v) — полезность, приписанная акту голосования. Эквивалентным этому является утверждение

U(x) - U(y) > c(v).

Если, наконец, сделать этическое предположение, что отрицательная полезность голосования одинакова для всех индивидуумов, то различия в полезности между х и у для всех голосовавших за х можно принять по крайней мере равными отрицательной полезности голосования, и наоборот.

К сожалению, большинство связей в этой цепи слабы. Во-первых, все, что можно установить относительно различия в полезности, — это неравенство; нам известно, что различие в полезности для того, кто голосует за х, по крайней мере равно отрицательной полезности акта голосования, но может быть и существенно больше. Следовательно, подсчета голосов недостаточно для отыскания суммы полезностей. Эта проблема не является специфичной для данного примера; она присуща механизму политического выбора.

Во-вторых, мы не будем реально настаивать на этическом предположении о межличностном равенстве отрицательной полезности акта голосования — можно ожидать, что она будет различна для разных индивидуумов в зависимости от материального достатка, уровня интеллекта или здоровья.

В-третьих, даже при всех сделанных сильных предположениях, возникают проблемы из-за отсутствия требования независимости от посторонних альтернатив. Если, действительно, проходит голосование, тогда отрицательная полезность акта голосования принимается и частично уменьшает для победителей их выгоду от победы альтернативы х; в то же время побежденные, которые были достаточно сильно заинтересованы в голосовании за у, пострадали не только от принятия х, но и от отрицательной полезности акта голосования. Таким образом, если х избран результатом голосования, может легко случиться, что сумма полезностей всего процесса, включая акт голосования, будет меньше, чем в случае, если у был бы навязан без голосования.

Безусловно, наилучшим решением, согласно этой логике, было бы навязать х без голосования. Это, действительно, было бы истинным смыслом использования посторонних альтернатив в качестве меры интенсивности предпочтения. Мерой интенсивности будет желательность жертвования голосованием, а не само жертвование. Но как это можно заставить работать?

В сущности, я могу только оставить проблему с этой головоломкой. Но в следующих двух подразделах будут рассмотрены два конкретных класса межличностных сравнений, основанных на расширенных картах безразличия.

8.4.4. Расширенное сочувствие (пр.169)

Одному типу межличностного сравнения, который можно найти в самых древних этических трудах, еще предстоит получить значительное выражение и формализацию в политическом и экономическом контексте. Примером его, вероятно, в крайней форме, может быть надпись на надгробии (перевод С.Я. Маршака. —Примеч. ред.):

Здесь я покоюсь — Джимми Хогг,
Авось грехи простит мне Бог, —
Как я бы сделал, будь я Бог,
А он — покойный Джимми Хогг!

Люди, похоже, готовы делать сравнения в такой форме: состояние х лучше (или хуже) для меня, чем состояние у — для тебя (пр.170). Это, конечно, один из способов подхода к понятию "приемлемое распределение дохода", если я богаче тебя, мне легче судить о том, что для тебя лучше получить лишний доллар, чем для меня.

Ординалист спросит, какое значение может иметь для кого-то такое сравнение. Сравнение должно предоставлять по крайней мере мыслимый выбор между альтернативными действиями. Межличностные сравнения типа расширения сочувствия можно сформулировать в операциональной форме; оценка будет выглядеть так: лучше (по моей оценке) быть мной в состоянии х, чем тобой в состоянии у.

В этой форме характеристики, определяющие индивидуума, включены в сравнение. По сути, эти характеристики поставлены вровень с параметрами, которые обычно считаются составляющими благосостояния индивидуума. Владение инструментами обычно рассматривают как часть социального состояния, а почему не включить владение навыками их использования и образование, которое стоит за этими навыками? Индивидуумы, оценивая уровень благосостояния друг друга, учитывают не только материальные блага в собственности, но и порой "завидуют масштабам деятельности и искусности данного человека" (пр.171).

Принцип расширения сочувствия как основа межличностных сравнений представляется основополагающим для многих оценок благосостояния в обычной практике. Но нелегко понять, как построить теорию коллективного выбора на этом принципе.

8.4.5. Способность различения

Рекуррентный подход к межличностным сравнениям состоял в использовании заметных различий в полезности в качестве межличностно обоснованных единиц (пр.172). Наиболее понятное рассуждение, которое здесь будет проанализировано, принадлежит Гудману и Марковичу. Они доказывают, что ни один индивидуум не может провести бесконечно тонкое сравнение альтернатив. Следовательно, можно предположить, что у каждого индивидуума имеется конечное число уровней различения, переход с одного уровня на следующий представляет собой минимальное различие, которое заметно индивидууму. Гудман и Марковиц затем делают основное этическое предположение, что значение перехода с одного дискретного уровня на следующий одинаково для всех индивидуумов и независимо от уровня, с которого происходит переход.

Следствие этого предположения (вместе с другими, более привычными, условиями — коллективной рациональностью, принципом Парето и принципом равенства) состоит в том, что коллективный выбор делается в соответствии с суммой индивидуальных полезностей, где полезность любого социального состояния для любого индивидуума определяется числом уровней различения, которые ниже уровня, куда данный индивидуум помещает данное социальное состояние.

Две проблемы подняты этой процедурой: одна — операциональное значение уровней различения и другая — этическая желательность использования уровней различения как межличностной меры. В отношении первой следует выяснить, какие эксперименты можно поставить, хотя бы идеально, чтобы определить уровень различения, который будет соответствовать любой социальной альтернативе для любого индивидуума? На самом деле, Гудман и Маркович не дают четкого ответа. Они отличают (пр.173) знание истинного уровня различения lij альтернативы j для индивидуума i и ранжирование aj этой альтернативы среди заданного набора альтернатив. Они предполагают, что только последнее является наблюдаемым, а потому должно или может быть использовано. Подразумеваемый эксперимент можно описать так: имеется подмножество S всех таких логически возможных социальных состояний, что всякое допустимое множество (множество реально достижимых социальных состояний), чье появление возможно, будет подмножеством множества S. Каждый индивидуум тогда составляет свою карту безразличия внутри S: согласно предположению о конечности различающей способности, он просто разделит S на конечное число подмножеств, внутри каждого из которых он полностью безразличен. Этим подмножествам затем приписывают ранг, который соответствует полезности.

Ранги легко могут, однако, оказаться зависящими от выбора множества S. Пусть, например, новый товар становится доступным, но запретительно дорог. Если S расширено добавлением распределения товаров, включая новый, то может содержать более желательные элементы, чем любой из старых, как и некоторые менее желательные, чем некоторые старые. Дополнительные компоненты вектора социального состояния увеличивают возможность различения, так что можно ожидать, что расширение S введет новые уровни различения, ранги которых вклинятся между некоторыми старыми. Тогда различаемые уровни аij, первоначальных альтернатив будут изменены введением новых альтернатив, которые могут оказаться технологически неосуществимыми.

Приведенное возражение представляет собой просто другую иллюстрацию аргументации в поддержку принципа независимости от посторонних альтернатив.

Иллюстрация поможет лучше разобраться в этической желательности основополагающих оценок благосостояния на уровнях различения. Поскольку фундаментальной функцией любой теории общественного благосостояния является предложение критериев распределения дохода, предположим, что есть единственный товар (доход), который нужно распределить между двумя индивидуумами, общее количество товара примем за 1. Пусть х — количество, выделенное индивидууму 1, (1 - х) — количество, выделенное индивидууму 2. Согласно Гудману и Марковичу, альтернатива х выбрана так, чтобы максимизировать U1(x) + U2(1 - х), где функции Ui представляют собой уровни различения для двух индивидуумов.

Каждый индивидуум может получить от 0 до 1 единицы товара, но из-за конечной способности различения этот интервал разделили на конечное число сегментов, внутри каждого из которых индивидуум не может воспринимать различия. Предположим, что индивидуум 1 разделил интервал на m равных частей, внутри каждой из которых он безразличен. Для определенности предположим, что каждая часть включает нижнюю границу интервала и исключает верхнюю. Само по себе количество товара, равное 1, составляет класс. Функция полезности для индивидуума 1 имеет вид:

U1(x) = [mх],
где [у] означает самое большое целое число, не превышающее у. Аналогично, если индивидуум 2 разделит интервал [О, 1] на n частей, его функция полезности имеет вид:

U2(1 - x) = [n(1 - x)].

Предположим теперь, что n > m, т.е. индивидуум 2 способен тоньше различать, чем индивидуум 1. Тогда критерий Гудмана — Марковича приводит к примечательному выводу, что весь доход должен достаться индивидууму 2. Предположим, что х > О в точке оптимума. Тогда U1(x) >= 0. Если U1(x) > 0, положим

U1(x) = r.
Тогда

mx > [mх] = U1(x) = r,
так что

U2(1 - x) = [n(1 - x)] =< [n - r(n / m)].
Поскольку n > m и r > 0,

n - r(n / m) < n - r,
и поскольку правая часть — целое число,

U2(1 - x) =< [n - r(n / m)] < n - r = n - U1(x)
или

U1(x) + U2(1 - x) < n.
С другой стороны, если х = 0, 1 - х = 1, получаем:

U1(0) + U2(1) = [0] + [n] = n > U1(x) + U2(1 - x),
что противоречит предполагаемой оптимальности x > 0, при условии, что U1(x) > 0. Если x > 0, но U1(x) = 0, отметим, что

U1(x) + U2(1 - x) = 0 + [n(1 - x)] < n = U1(0) + U2(1),
так что остается то же противоречие (пр.174).

То, что небольшое различие в чувствительности приведет к полному неравенству, вряд ли покажется этически обоснованным (пр.175).

8.5. Коллективная рациональность

Условие, что оценки благосостояния должны принять форму упорядочения, гораздо меньше оспаривается, чем другие, хотя Бькженен (см. раздел 8.3.3) доказывает, что рациональность является свойством только индивидуумов и нет причин приписывать рациональность группе. Были и другие несущественные замечания (например у Кемпа (пр.176)), что в процессе коллективного решения можно было бы легко пожертвовать транзитивностью ради того, чтобы выполнялись другие условия.

Два свойства, характеризующие упорядочение, — это связность и транзитивность (см. раздел 2.2). Связность, когда она понята, вряд ли может отрицаться; она просто требует, чтобы коллективный выбор происходил в любом допустимом множестве. Нельзя воздержаться от решения, некоторое социальное состояние должно возобладать.

Однако нельзя отрицать, что существует важный смысл в ситуации отсутствия решения, о котором можно говорить, хотя и в общих чертах. В любой исторически заданной ситуации существует социальное состояние, в котором есть предпочитаемый статус в коллективном выборе в том смысле, что он будет принят в отсутствии особого решения в пользу противоположного. Политически status quo обладает этим свойством, что часто совершенно очевидно. Если рассмотреть полное распределение товаров, предпочитаемая альтернатива будет несколько иной. Предположим, что социальное состояние х достигается, когда множеством является S. Теперь предположим, что появилась инновация, расширившая множество. В экономике свободного в основе своей предпринимательства произойдет адаптация, управляемая законами собственности и работой системы. Полученное социальное состояние, скажем х1 которое в общем отличается от х, будет автоматически преобладающим, если только не будет особого законодательного решения изменить его.

Существует фундаментальное расхождение во мнениях, которое не признано в полной мере: должен ли коллективный выбор быть исторически обусловлен, или, что эквивалентно, отличается ли бездействие как альтернатива от прочих альтернатив (пр.177). Подход к функции общественного благосостояния, по версии Бергсона или по моей версии, и "популистская демократия", как назвал это Даль (пр.178), подразумевают, что коллективный выбор в любой момент определен ранжированием доступных альтернативных социальных состояний (при данных предпочтениях индивидуумов). Ни одной из альтернатив не отводится специальной роли из-за того, что она оказалась идентичной исторически данной или производной от нее. В случае выбора между двумя альтернативами эта точка зрения приводит к правилу большинства (пр.179).

Бьюкенен и Таллок, с другой стороны, отличают сохранение и изменение status quo особенно четко в следующей цитате (пр.180): "Следует строго разграничить два типа решений: 1) позитивное решение, которое санкционирует действие для социальной группы, и 2) негативное решение, которое эффективно блокирует действие, предложенное другой группой. Если группа уполномочена принимать решения, приводящие к позитивным действиям группы или в интересах группы, следует сказать, что эта группа эффективно «управляет» решениями, о которых идет речь. Говорить о том, что возможность блокировать решения является эффективным «правилом», не представляется разумным. Возможность блокировать действия — это не то, что мы нормально имеем в виду или должны иметь в виду, когда говорим о «власти большинства» или «власти меньшинства»". Асимметрия между действием и бездействием тесно связана с их поддержкой единогласия как идеального критерия выбора (пр.181); при таком правиле status quo — высоко привилегированная альтернатива.

На этом фоне становится ясна важность условия транзитивности. Те, кто знаком с проблемой интегрируемости в теории потребительского спроса (пр.182), заметят, что основная проблема та же самая: независимость окончательного выбора от пути к нему. Транзитивность обеспечивает эту независимость: в любом множестве будет существовать выбранная альтернатива, и в отсутствии тупиковой ситуации нет места для избрания исторически данной альтернативы по умолчанию.

Райкер (пр.183) и Даль (пр.184) разными путями пришли к выводу о том, что нетранзитивный механизм коллективного выбора может с очевидностью приводить к неудовлетворительным решениям. Райкер подчеркивал возможность того, что законодательные правила могут привести к выбору предложения, против которого большинство, а Даль больше обращал внимание на возможность того, что правила приведут к тупиковой ситуации и потому к социально нежелательному бездействию. Понятие "демократического паралича" — невозможности действовать не из-за желания бездействовать, а из-за неспособности прийти к соглашению о подходящем действии — представляется мне заслуживающим дальнейшего как эмпирического, так и теоретического изучения.

Коллективная рациональность в механизме коллективного выбора не будет тогда просто незаконным переносом с индивидуума на группу, а станет важным атрибутом истинно демократической системы, способной к полной адаптации в условиях изменяющихся допустимых множеств.

Примечания

  1. Два последних способа коллективного выбора в некотором смысле являются крайними способами реализации конфликтующих тенденций в демократическом обществе. Воля отдельного индивидуума — крайнее выражение административного произвола, требование религиозных норм — крайнее выражение власти закона. Но в динамических ситуациях религиозные нормы незаметно приводят к диктатуре. Нормы требуют интерпретации, поскольку ситуации меняются, и, сколь бы явным образом ни были прописаны первоначально правила действий общества в разных ситуациях, с течением времени они становятся неоднозначными. Возможно, что право интерпретации переходит к обществу в целом и осуществляется с помощью каких-то демократических процедур — "глас народа — глас Божий". А может статься, что интерпретация переходит в руки отдельных людей; в этом случае, как только возникает расхождение мнений, религиозные нормы теряют силу как руководство к общественным действиям. См., например, к чему в конечном счете приводит в области экономики протестантская этика, допускающая право каждого интерпретировать Библию самостоятельно (Tawney R.H. Religion and the Rise of Capitalism. L.: J. Murray, 1926. P. 97—100). Но более вероятно, что с учетом авторитарного характера религиозных норм интерпретация перейдет в руки отдельного индивидуума или небольшой группы, которые будут претендовать на исключительность своих полномочий. Классификация способов коллективного выбора, приведенная здесь, соответствует различиям, введенным профессором Найтом относительно обычаев, власти и консенсуса, за исключением того, что я разделил консенсус на две категории: голосование и рыночный механизм (Knight F.H. Human Nature and World Democracy // Freedom and Reform. N. Y.: Harper and Bros., 1947. P. 308—310).
  2. Предполагается, разумеется, что диктатор, как и обычный рациональный в экономическом смысле человек, всегда может принять решение, когда ему предлагается набор альтернатив, и что он всегда будет принимать одно и то же решение, когда набор альтернатив тот же. Способность принимать согласованные решения — один из признаков целостной личности. Когда мы переходим к методам принятия коллективных решений, в которых участвует много индивидуумов (голосованием или рыночными механизмами), к проблеме нахождения согласованных решений можно по аналогии подходить как к проблеме существования общества, объединенного общими целями. Насколько полезна эта психиатрическая аналогия, предстоит еще увидеть. Проблема формального существования методов агрегирования индивидуальных предпочтений, поставленная в данной работе, является, безусловно, необходимым условием целостного (в вышеуказанном смысле) общества, но сомнительно, является ли существование таких методов достаточным или хотя бы составляющим важную часть условия достаточности этой целостности.
  3. Можно добавить, что метод принятия решений, схематически описанный выше, по сути тот, который используется в совещательных органах, где весь набор альтернатив обычно предлагается к принятию решения в форме последовательных попарных сравнений. Феномен, описанный в тексте, можно наблюдать в чистом виде в постановке предложений перед прошлыми составами Конгресса по поводу федеральной помощи государственному образованию, где три альтернативы были следующими: отсутствие федеральной помощи, федеральная помощь только государственным школам и федеральная помощь как государственным, так и приходским школам. Кажется, на "парадокс голосования" впервые обратил внимание Е.Дж. Нансон (Transactions and Proceedings of the Royal Society of Victoria. 1882. Vol. 19. P. 197—240). Этой ссылкой я обязан С.П. Райту (Университет Нью-Брунсуика).
  4. Проблема коллективной рациональности рассмотрена Найтом, но глявным образом в терминах социопсихологических предпосылок. См.: Knight F.H. ,he Planful Act: The Possibilities and Limitations of Collective Rationality /.' Freedom and Reform. P. 335—369, особенно р. 346—365.
  5. Обзор проблемы можно найти в работах: Samuelson P.A. Foundations of Economic Analysis. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1947. Ch. VIII (русский перевод — Самуэльсон П. Основания экономического анализа. М.: Экономическая школа, 2002); Bergson A. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics // Quarterly Journal of Economics. 1938. Vol. 52. February. P. 310—334. Обзор последних достижений можно найти в статье: Bergson A. Socialist Economics // A Survey of Contemporary Economics / H.S. Ellis (ed.). Philadelphia: The Blakiston Co., 1948. Ch. XII. Кроме того, оценка текущего состояния данной области присутствует в работах: Lange О. The Foundations of Welfare Economics // Econometrica. 1942. Vol. 10. July—October. P. 215—228; Reder M.W. Studies in the Theory of Welfare Economics. N. Y.: Colombia University Press, 1947. Ch. I—V.
  6. Edgeworth F.Y. Mathematical Psychics. L: С. Regan Paul and Co., 1881. P. 56—82, в особенности р. 57; The Гиге Theory of Taxation // Papers Relating to Political Economy. L.: Macmillan and Co., 1925. Vol. II. P. 63—125, в особенности р. 100—122. Интер претация общественной полезности как суммы индивидуальных полезностей в неяв ном виде присутствует в использовании Маршаллом доктрины дополнительного до хода потребителя, хотя также принимаются и другие допущения (см.: Marshall A. Prin ciples of Economics. 8th edition. N. Y.: The Macmillan Co., 1949. P. 130—134, 467—476; русский перевод — Маршалл А. Принципы экономической науки. М.: Прогресс: Универс, 1993).
  7. Bergson A. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics. См. также: Samuelson P.A. Op. cit. P. 219—252.
  8. Robbins L. An Essay on the Nature and Significance of Economic Science. 2nd edition. L.: Macmillan and Co., 1935. Ch. VI; Interpersonal Comparisons of Utility: A Com ment// Economic Journal. 1938.Vol. 43. December. P. 635—641.
  9. Kaldor N. Welfare Propositions of Economics and Interpersonal Comparisons of Utility // Economic Journal. 1939. Vol. 49. September. P. 549—552; Hicks J.R. The Foun dations of Welfare Economics // Economic Journal. 1939. Vol. 49. December. P. 696—700, 711—712.
  10. См, обсуждение утверждений о фундаментальных оценках относительно индивидуальных предпочтений в работах: Bergson A. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics. P. 318—320; Samuels on P.A. Op. cit. P. 228.
  11. Lange O. Op. cit. P. 219—224, в особенности в начале р. 222; но на р. 223 и в начале р. 224 имеются противоречивые утверждения.
  12. Lange О. The Determinateness of the Utility Function // Review of Economic Studies. 1934. Vol. 1. June. P. 224—225.
  13. LernerA.P. Economics of Control. N. Y.: The Macmillan Co., 1944. Ch. III.
  14. Zassenhaus H. Uber die okonomische Theorie der Planwirtschaft // Zeitschrift fur Nationalokonomie. 1934. Vol. 5. S. 507—532.
  15. Bowen H.R. The Interpretation of Voting in the Allocation of Economic Resources //Quarterly Journal of Economics. 1943. Vol. 58. November. P. 27—48.
  16. Knight F.H. Economic Theory and Nationalism // The Ethics of Competition and Other Essays. N. Y.: Harper and Bros., 1931. P. 294—305.
  17. Black D. On the Rationale of Group Decision-Making // Journal of Political Economy. 1948. Vol. 56. February. P. 23—34; The Decisions of a Committee Using a Special Majority // Econometrica. 1948. Vol. 16. July. P. 245—261; The Elasticity of Committee Decisions with an Altering Size of Majority // Ibid. P. 262—270; Un approccio alia teoria delle decision! di comitato // Giomale degli economisti e annali di economica. 1948. Vol. 7. Nuova Serie. P. 262—284. По поводу сходства между голосованием и рынком см. в особенности: The Elasticity of Committee Decisions with an Altering Size of Majority. P. 262, 270; Un approccio alia teoria delle decisioni di comitato. P. 262—269.
  18. 18 Найт постоянно подчеркивал важность игровых мотивов в человеческой жизни (см., например, сноску 16). Важность соревновательных мотивов нигде не подчеркнута так сильно, как у Веблена (Veblen Т. The Theory of the Leisure Class. N. Y.: The Macmillan Co., 1899).
  19. Neumann J. von, Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior. 2nd edition. Princeton: Princeton University Press, 1947 (русский перевод — Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970).
  20. Тот же момент присутствует у Боуэна (Bowen H.R. Op. cit. P. 45, 48).
  21. См.: Steinhaus H. The Problem of Fair Division (abstract) // Econometrica. 1948. Vol. 10. January. P. 101—104. (см. также: Брамс С., Тейлор А. Делим по справедливости. М: СИНТЕГ, 2002. — Примеч. ред.).
  22. Veblen T. Op. cit.; Why Is Economics Not an Evolutionary Science? // The Place of Science in Modern Civilisation and Other Essays. N. Y.: B.W. Huebsch, 1919. P. 73—74; Clark J.M. Economics and Modern Psychology // Preface to Social Economics. N. Y.: Farrar and Rinehart, 1936. P. 92—160; Realism and Relevance in the Theory of Demand // Journal of Political Economy. 1946. Vol. 54. August. P. 347—351; Knight F.H. Ethics and the Economic Interpretation // The Ethics of Competition and Other Essays. P. 19—40.
  23. "Либерализм принимает индивидуума как данность и рассматривает социальные проблемы как проблемы правильных отношений между данными индивидуумами". Knight F.H. Ethics and Economic Reform // Freedom and Reform. P. 69; (Курсив в оригинале).
  24. Классическая теория спроса оставляет место неоднозначности отношения между картой безразличия домохозяйства и картами безразличия отдельных его членов. К поведению на рынке имеют отношение первые. Переход от индивидуальных карт к картам домохозяйства представляет собой особый случай перехода от индивидуальных к коллективным упорядочениям; если принять этот тезис, карты безразличия домохозяйства могут, на самом деле, появиться только на основе некоторых общих нормативных оценок. Но эти оценки, как будет показано, эмпирически определяемы изучением индивидуальных карт безразличия и не основываются на каких-то внутренних сравнениях интенсивности ощущений. В дальнейшем мы будем игнорировать различие между картами безразличия индивидуумов и домохозяйств; это означает, что либо внутри домохозяйства как-то решена проблема агрегирования, либо эта проблема рассматривается одновременно с общей проблемой.
  25. Newmann J. von, Morgenstern О. Op. cit. P. 15—31,617—632. См. также: Vickrey W.S. Measuring Marginal Utility by Reactions to Risk // Econometrica. 1945. Vol. 13. October. P. 319—333.
  26. Следует все же признать, что если сделать первоначальное допущение о том, что все шкалы предпочтений индивидуумов одинаковы (у всех индивидуумов одинаковые вкусы), тогда можно выбрать одинаковую для всех функцию предпочтения. Однако, если рассматривать всерьез идею межличностного сравнения полезности, следует допустить возможность того, что из двух индивидуумов с одинаковыми картами безразличия один окажется вдвое чувствительнее, чем второй, и, таким образом, корректная функция полезности для одного должна будет оказаться вдвое больше, чем для другого. Было бы интересно понять операциональную значимость различия чувствительности, привязанную к этой концепции. Фон Нейман и Моргенштерн (Newmann J. von, Morgenstern О. Op. cit. P. 608—616) рассмотрели случай, где два индивидуума имеют различную силу интуиции, но они не рассматривали его исходя из предположения о различных полезностях одного и того же набора товаров. Вместо этого они предполагали, что обе шкалы полезности могут принимать только дискретные значения, хотя одна может принимать большие значения, чем другая.
  27. "Тщетно говорить о сложении величин, которые после сложения останутся различными, как и были до того, счастье одного человека никогда не будет счастьем другого, выгода одного не будет выгодой другого: можно с таким же успехом складывать 20 яблок с 20 грушами..." (Цит. по кн.: Mitchell W.C. Bentham's Felicifio Calculus // The Backward Art of Spending Money and Other Essays. N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1937. P. 184.)
  28. 5 Допущение сравнимости всех альтернатив — суть спора об интегрируемости в теории потребительского выбора. См.: Pareto V. Manuel d'economie politique. Deuxieme edition. Paris: M. Giard, 1927. P. 546—569. По поводу некоторых парадоксальных следствий неинтегрируемости (что эквивалентно несопоставимости альтернатив, не являющихся бесконечно близкими друг к другу) см.: Ceorgescu-Roegen N. The Pure Theory of Consumer's Behavior // Quarterly Journal of Economics. 1936. Vol. 50. August. P. 545—569. Профессор Билль вывел условие интегрируемости и с ним вместе сравнимости всех альтернатив из правдоподобных гипотез о природе функции спроса (Ville J. Sur les conditions d'existence d'une ophelimite totale et d'un indice du niveau des prix // Annales de I'Universite de Lyon. Section A. 1946. Vol. 3. N 9. P. 32—39).
  29. Строго говоря, отношение называется связным, если аксиома I выполняется при x не равно у. Отношение R называется рефлексивным, если для всех x xRx. (См.: Tarski A. Introduction to Logic. N. Y.: Oxford University Press, 1941. P. 93—94.) Таким образом, отношение, удовлетворяющее аксиоме I, и связно, и рефлексивно. Однако для удобства мы будем использовать слегка неточную терминологию, т.е. будем использовать слово "связный" вместо более длинного выражения "связный и рефлексивный".
  30. Ibid. P. 94.
  31. На самом деле, часто термин "отношение упорядоченности" зарезервирован для сильного упорядочения (Tarski A. Introduction to Logic. P. 96—97). Но в данной книге термин "упорядочение" или "отношение упорядочения" будет зарезервирован для слабого упорядочения.
  32. Формальные характеристики сильного упорядочения будут даны ниже, при обсуждении последней работы профессора Дункана Блэка по теории голосований (см. раздел 7.2).
  33. Этот термин принадлежит Дж. Маршаку.
  34. " Вместо того чтобы начинать, как здесь, с отношения слабого упорядочения R, удовлетворяющего некоторым аксиомам, и затем получать функцию выбора, можно ввести некоторые аксиомы непосредственно на функцию выбора. На самом деле, несложно построить набор правдоподобных аксиом относительно функции выбора, из которых можно будет вывести существование отношения слабого упорядочения, которое может порождать функцию выбора, так что оба подхода логически эквивалентны. Начать с функции выбора вместо отношения упорядочения — значит следовать подходу Курно, который начинает с функции спроса, постулируя свойства, вместо того чтобы выводить эти свойства из соображений, связанных с картами безразличия или функциями полезности (Cournot A. Mathematical Principles of the Theory of Wealth. English translation. N. Y.: The Macmillan Co., 1897. P. 49—50). Допущения, сделанные Курно относительно функций спроса, не были особенно ограничительными. Более тонкий подход к спросу с этой точки зрения можно найти в трудах Билля (VilleJ. Op. cit.) и Самуэльсона (Samuelson P.A. Op. cit. P. 111—117). Оба исследования касаются только случая потребительского спроса в условиях совершенной конкуренции, но возможно обобщение и на случай несовершенной конкуренции.
  35. Это краткое утверждение не вполне точно, когда речь идет о существовании точки насыщения. Однако график тогда, по крайней мере, ориентирован одинаково внутри каждого из нескольких больших сегментов, и возникает интересная экономическая проблема в области, где выполняются сделанные допущения.
  36. Аналогично в области экономики производства кажется более естественным выражать ограничения преобразований, утверждая, что вектор «хода/выхода лежит на некотором множестве точек, чем вводить в функцию преобразования и тогда подчинять деятельность фирмы условию Т = 0. В этом случае неуместность представления функцией еще очевиднее, поскольку если F(t) = О тогда и только тогда, когда t = 0, то F(Т) может использоваться в качестве функции преобразования точно так же, как и Т.
  37. На это различие внимание автора обратил М. Фридмен (Чикагский университет).
  38. Pigou А.С. The Economics of Welfare. L.: Macmillan and Co., 1920. Pt. II. Ch. VI. Эту аналогию можно увидеть и у Самуэльсона (Samuelsdn P.A. Op. cit. P. 224), Реде-ра (Reder M.W. Op. cit. P. 64—67) и Тинтнера (Tintner С. A Note on Welfare Economics // Econometrica. 1946. Vol. 14. January. P. 69—81).
  39. Теория игр, включающих более двух лиц, или игр, в которых сумма выплат разным участникам не является независимой от способа игры, все еще не разработана, несмотря на математически безупречное развитие в трудах фон Неймана и Моргенштерна (Newmann J. von, Mongenstern О. Op. cit. Ch. V—XII). Например, высокоразвитый механизм компенсаций, предусмотренный в их теории рационального поведения в таких играх, практически не имеет прототипа в реальном мире, как было отмечено профессором Бейном по другому поводу (Bain J.S. Output Quotas in Imperfect Cartels // Quarterly Journal of Economics. 1948. Vol. 62. August. P. 617—622). С другой стороны, можно практически не сомневаться, что теория рациональной игры двух лиц с нулевой суммой полностью построена, по крайней мере при некоторых ограничениях относительно нейтральности к риску игроков и полноты имеющейся у них информации о правилах игры (см.: Neumann J. von. Zur Theorie der Gesellschafts-spiele // Mathematische Annalen. 1928. Vol. 100. August. P. 295—320; Neumann J. von, Mongenstern O. Op. cit. Ch. HI—IV). Следовательно, теория поведения в играх двух лиц с нулевой суммой допускает некоторого рода проверку представлений о рациональности, в значительной степени аналогичных статической теории фирмы в условиях совершенной конкуренции.
  40. Rothschild К. W. The Meaning of Rationality: A Note on Professor Lange's Arlicle // Review of Economic Studies. 1946—1947. Vol. 14. N 1. P. 50. Ротшильд также приписывает этот взгляд профессору Ланге, но представляется, что тут есть ошибка. Ланге рассматривает допущение рациональности (которое он идентифицирует с упорядочением) как весьма условный постулат, хотя и истинный, но необязательный (Lange О. The Scope and Method of Economics // Review of Economic Studies. 1945—1946. Vol. 13. N 1. P. 30).
  41. Как и Ланге, автор данной книги рассматривает экономику как попытку открытия закономерностей в определенной части действительности, а не выведение логических следствий из некоторого множества допущений, независимо от того, как они соотносятся с действительностью. Построение упрощенной теории является абсолютной необходимостью для эмпирического анализа, но это средство, а не самоцель
  42. Bergson A. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics.
  43. Здесь — экономика свободного рынка в чистом виде.
  44. Этот пример был предложен мне в беседе с Дж. Форсайтом из Национального бюро стандартов.
  45. Huntington E.V. A Paradox in the Scoring of Competing Teams // Science. 1938. Vol. 88. September. P. 287—288. Этой ссылкой я обязан Дж. Маршаку.
  46. Bergson A. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics. P. 318—320. Фундаментальные оценки индивидуальных предпочтений, строго говоря, вытекают из условий 2 и 4 (вместе с условиями 1 и 3), хотя нечто очень похожее подразумевается; см. следствие 3 в разделе 5.3. Чуть более сильная форма условия 2, чем здесь, будет достаточна, чтобы привести к желаемым выводам
  47. См.: Fromm E. Escape from Freedom. N. Y.: Rinehart and Co., 1941.
  48. Bergson A. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics. P. 327—328.
  49. Такое конкретное правило было предложено А. Капланом.
  50. См. сноску 26 к разделу 2.1.
  51. См.: Reder M.W. Op. cit. Ch. 1, в особенности р. 14, 17.
  52. См. раздел 3.4.
  53. BirkhoffG. Lattice Theory. N. Y.: American Mathematical Society, 1940. P. 7 (рус ский перевод — Биркгоф Г. Теория решеток. М: Наука, 1984).
  54. Первая формулировка этой проблемы в данной форме дана В. Парето (Pareto У. Op. cit. P. 354—365, 617—657). Детально эта проблема была изучена Е. Бароне (Вагоне Е. The Ministry of Production in the Collectivist State // Collectivist Economic Planning / F.A. von Hayek (ed.). L.: Routledge and Sons, 1935. P. 245—290). Впоследствии Лернер вновь привлек внимание к проблеме и развил ее (Lerner A.P. The Concept of Monopoly and the Measurement of Monopoly Power // Review of Economic Studies. 1933. Vol. 1. June. P.162—165; см. также: Lerner A.P. Economics of Control). Строгая формулировка была предложена Хотеллингом (Hotelling H. The General Welfare in Relation to Problems of Taxation and Railway Rates // Econometrica. 1938. Vol. 6. July. P. 248—256), а весь предмет систематически изложен Ланге (Lange О. The Foundations of Welfare Economics. P. 215—218). Можно отметить, что использованы методы поиска максимума, развитые в математическом анализе, или их графические эквиваленты для того, чтобы показать, что оптимальные альтернативы являются именно теми состояниями, которые были бы достигнуты, если каждый индивидуум действует рационально и эгоистично при наличии цен, рассматриваемых им как параметры. Использование математического анализа в этих обстоятельствах требует предположения, что каждый индивидуум потребляет некоторое количество каждого товара. На роль этого предположения указал С. Кузнец в несколько ином контексте (Kuznets S. On the Valuation of Social Income-Reflections on Professor Hicks' Article // Economica. 1948. Vol. 15. New Series. February. P. 2—6). Теорема, о которой идет речь, выполняется и без дополнительных допущений, но обычные методы математического анализа здесь не работают.
  55. Samuelson P.A. Op. cit. P. 249—252.
  56. Bergson A. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics. P. 316—317.
  57. Kaldor N. Op. cit. Ch. I. Fn. 9.
  58. Hicks J.R. Op. cit. P. 698—701, 711—712; Baumol WJ. Community Indifference //Review of Economic Studies. 1946—1947. Vol. 14. N 1. P. 44—48. Профессор Xoтеллинг (Hotelling H. Op. cit. P. 267) также предлагает применить принцип, эквивалентный принципу Калдора, но значительно более опосредованным путем. Из контекста ясно, что ситуация, которую он рассматривает, такова, что общество находится в оптимальном состоянии, как определено в последнем разделе (все цены равны предельным издержкам), и выбор состоит в том, чтобы делать или не делать неделимые инвестиции, возможности которых раньше не существовало. В таком случае принцип Калдора служит всего лишь способом сохранить экономику в оптимальном состоянии при изменяющихся условиях.
  59. Это правило было предложено в порядке рабочей гипотезы Ф. Модильяни.
  60. Допущение относительно единственного товара применялось в некоторых наиболее глубоких обсуждениях оптимальных условий. См.: Wicksell К. Lectures on Political Economy. L.: G. Routledge and Sons. 1935. Vol. I. P. 140; Knight F.H. Fallacies in the Interpretation of Social Cost // The Ethics of Competition and Other Essays. P. 219.
  61. Baumol WJ. Op. cit. P. 46.
  62. TarskiA. Op. cit. P. 94—96.
  63. Легко дать формальное доказательство этого утверждения. Требуется, чтобы все социальные состояния были разделены на подмножества со следующими свойствами: а) каждое социальное состояние попадает, по крайней мере, в одно из подмножеств; б) если х и у находятся в одном и том же подмножестве, тогда выполняется хСу; в) если два подмножества не совпадают полностью, тогда они совершенно не пересекаются, т.е. либо каждый элемент одного является элементом другого, либо у двух множеств нет ни одного общего элемента; г) если х и у находятся в разных подмножествах, тогда не выполняется ни хСу, ни уСх.

    Можно построить эти подмножества, или классы эквивалентности, как мы их будем называть, следующим образом: пусть для любой данной альтернативы х множество всех таких альтернатив х', что х'Сх составляет класс эквивалентности, порожденный с альтернативой х. Классы эквивалентности, порожденные всеми социальными состояниями, составляют подмножества с желаемыми свойствами.

    Доказательство. (а) Согласно (1), каждая альтернатива х попадает в класс эквивалентности, порожденный х.

    (б) Пусть обе альтернативы х и у попадают в класс эквивалентности, порожден ный z. Тогда, по определению, xCz и yCz. Согласно (2), второе утверждение подразумевает zCy; из xCz и zCy следует хСу согласно (3).

    (в) Пусть С 1, и С 2 — два класса эквивалентности, у которых есть общий элемент z. Пусть С 1, порожден х и пусть х' — элемент С 2. Согласно (б), x'Cz и zCx, поскольку z принадлежит обоим С 1 и С 2; согласно (3), х'Сх, так что х' находится в С 1 по определению. Следовательно, каждый элемент С 2 находится в С,; аналогично каждый элемент С 1 находится в С 2, так что С 1 и С 2 совпадают полностью.

    (г) Пусть х находится в С 1, у — в С 2 и хСу, где С 1 и С 2 не совпадают полностью. Пусть С 2 порождено z; тогда yCz, согласно определению, a xCz, согласно (3), что х находится в С 2 по определению. Тогда С 1 и С 2 имеют общий элемент и должны, согласно (в), полностью совпадать, вопреки предположению. Следовательно не выполняется хСу; по тем же причинам не выполняется уСх.

  64. Разумеется, рассуждения, на которых основывается условие 3, применимы в равной мере к альтернативам, которые нежелательно ранжировать; если выбор между любыми двумя вариантами должен быть независим от вкусов по отношению к приемлемым альтернативам, тогда, конечно, мы захотим, чтобы выбор был независим от вкусов по отношению к альтернативам, которые даже не рассматриваются как приемлемые. Мы просто делаем исключение для этого случая здесь, чтобы перейти к другим вопросам.
  65. Scitovsky Т. A Note on Welfare Propositions in Economics // Review of Economic Studies. 1941. Vol. 9. November. P. 77—88.
  66. To, что наличие как хРу, так и уРх противоречит аксиомам I и II, можно формально увидеть так: по определению 1 и аксиоме I, хРу влечет, что не выполняется yRx, в то время, как уРх влечет yRx, что не может выполняться одновременно.
  67. Существуют индивидуальные упорядочения социальных состояний, основанные отчасти на зависти к чужой собственности, при которых (6) не будет удовлетворяться для некоторой конкретной пары х и у.
  68. Scitovsky Т. A Reconsideration of the Theory of Tariffs // Review of Economic Studies. 1941. Vol. 9. Summer. P. 92—95. "Если [групповые кривые безразличия, проходящие через два заданных состояния] пересекаются... по нашему соглашению мы юлжны считать оба состояния одинаково хорошими" (Ibid. P. 94—95). См. также: Kaldor N. A Comment // Review of Economic Studies. 1946—1947. Vol. 14. N1. P. 49.
  69. В смысле строгого предпочтения.
  70. Отрицательный результат данной теоремы сильно напоминает нетранзитивность понятия доминирования в теории игр многих лиц (см.: Neumann J. von, Morgenstern O. Op. cit. P. 38—39).
  71. Единственной частью упомянутых условий, которая, как мне кажется, может вообще обсуждаться, является допущение рациональности. Последствия отбрасывания этого допущения столь радикальны, что исследование последствий его сохранения представляется стоящим усилий. См. раздел 2.4.
  72. 1 См., например: Samuelson P.A. Op. cit. P. 222—224; Bergson A. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics. P. 318—320; Lange O. Foundations of Welfare Economics. P. 216.
  73. Szpilrajn Е. Sur 1'extension de 1'ordre partiel // Fundamenta Mathematicae. 1930. Vol. 16. P. 386—389. Я обязан этой ссылкой Дж. С. Маккинси.
  74. Neumann J. von, Morgenstern О. Op. cit. P. 264. Данное замечание подразумевается неявно в определениях эффективного множества и доминирования.
  75. Ibid. P. 8—9.
  76. Neumann J. von, Morgenstern О. Op. cit. P. 604, 629 fn.
  77. BergsonA. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics. P. 320—321.
  78. Johnson D.G. The High Cost of Food — A Suggested Solution // Journal of Political Economy. 1948.Vol. 56. February. P. 54—57. Предложения профессора Модильяни содержатся в пресс-релизе Института мировой экономики (Нью-Йорк, октябрь, 1948)
  79. Samuelson P.A. Op. cit. P. 225.
  80. См. раздел 7.3.
  81. Здесь они рассматриваются как цели сами по себе, но имеют значения и для развития других целей или препятствования им, ведь индивидуум, предпочитающий равенство, может тем не менее склоняться к некоторому неравенству ради увеличения конечного результата.
  82. Ф. Дикинсон из Американской медицинской ассоциации в устном выступлении предположил, что продолжительность жизни может сама по себе стать ориентиром общественного благосостояния. Этот взгляд особо привлекателен, поскольку большая часть социальной, в особенности экономической, деятельности посвящена этой цели в широком смысле. В отличие от других основных побуждений (например секса и престижа), стремление к увеличению продолжительности жизни скорее объединяет людей, чем разделяет, хотя, если рассматривать мир в единстве, соотношение между народонаселением и продуктами питания таково, что остается почва для конфликта. Но жизнь нельзя считать единственной целью, поскольку для большинства людей существуют особые ситуации, когда они готовы пожертвовать жизнью ради других ценностей, будь то величие политического образования, которому обязан повиноваться ("Сладостна и почетна смерть за отечество"— Гораций), или свобода ("Лучше умереть стоя, чем жить на коленях" — Долорес Ибаррури). С более практической точки зрения продолжительность жизни, возможно, слишком нечувствительна к краткосрочному экономическому регулированию, чтобы служить значимым ориентиром, особенно с учетом огромной неопределенности относительно факторов, способствующих росту продолжительности жизни. Само измерение продолжительности жизни для общества в целом включает большую неопределенность, отмеченную в анализе экономики благосостояния. Так, оценивая сравнительную значимость разных причин смерти, простые коэффициенты смертности вызывают возражения, поскольку они игнорируют возраст, который необходимо учитывать, ибо он определяет потери, наносимые обществу смертью. Поэтому предлагаются новые меры, которые стремятся, по крайней мере в грубом приближении, измерить экономические потери общества от смерти, вызванной каждой из основных причин. (См.: Dickinson F.G., Welker E.L. What Is the Leading Cause of Deatht? Two New Measures / Bureau of Medical Economic Research, American Medical Association. Chicago, 1948. (Bulletin 64).) Разумеется, доведенное до логического конца это направление включает все трудности, с которыми уже столкнулись, приписывая смысл общественной производительности.
  83. См. сноску 17 в разделе 1.2.
  84. Black D. On the Rationale of Group Decision-Making. P. 26—28; Black D. Decisions of a Committee Using a Special Majority. P. 250—251.
  85. Black D. On the Rationale of Group Decision-Making. P. 30.
  86. Black D. Decisions of a Committee Using a Special Majority. P. 250.
  87. Я могу добавить здесь, что Блэк хотел, чтобы его труд был вкладом в анализ реального политического поведения, а не в изучение общественного благосостояния. Он представлял себе комитет, перед которым предстают последовательные предложения. Комитет выбирает между первыми двумя; затем победившее решение ставят на голосование в пару с третьим; и аналогично победившее после n голосований ставится в пару с (n + 1)-м предложением. Однако Блэк исходит из допущения, что на каждой стадии процесса каждый индивидуум голосует в соответствии с собственным упорядочением. Это возможно только в том случае, если ни у одного из индивидуумов нет стимула лукавить, искажая свое истинное мнение ради получения более выгодного для него конечного результата; если бы это было так, то, безусловно, ни один индивидуум не стал бы искажать свое упорядочение, если ему было бы известно, что никто иной этого не сделает. Следующий пример показывает ложность последнего утверждения. Пусть индивидуум 1 определил упорядочение как х, у, z, индивидуум 2 — как у, х, z, а индивидуум 3 — как z, у, х. Пусть предложения проходят в порядке у, z, х. Если все индивидуумы голосуют согласно своим упорядочениям, то альтернатива у будет предпочтена альтернативе z, а затем и альтернативе х. Однако индивидуум 1 может голосовать за z первый раз, обеспечив ей победу; тогда при выборе между z и х х победит, если индивидуумы 2 и 3 проголосуют согласно своим упорядочениям, поэтому у индивидуума 1 появится сильное искушение исказить представление своего мнения. Проблема, рассмотренная здесь, аналогична, хотя и не идентична, игре большинства, и нужен сложный анализ для отыскания рациональных решений, который наверняка столкнется с трудностями этой более общей проблемы голосования (см.: Neumann J von, Morgenstern О. Op. cit. P. 431—445). Эта сложность отмечена Блэком (Black D. On the Rationale of Group Decision-Making. P. 29 fn.).
  88. Rousseau J.J. The Social Contract. English translation. 2nd edition, revised. N. Y.; L: G.P. Putnam's Sons, 1906. P. 25; Kant I. Fundamental Principles of the Metaphysic of Morals // Kant's Critique of Practical Reason and Other Works on the Theory of Ethics / English translation by Т.К. Abbott. 5th edition. N. Y.: Longmans, Green and Co., 1898. P.51—52; Green Т.Н. Lectures on the Principles of Political Obligation. N. Y.; L.: Long mans, Green and Co., 1895. P. 44—48, 125—126. "Для [основ политического или свободного общества] необходимо не то, чтобы действительно каждый, на кого распространяется действие законов, принимал бы участие в голосовании об их принятии, и еще менее необходимо, чтобы он был согласен на их применение к нему самому. Необходимо, чтобы закон представлялся ему как идея общественного блага, которое каждый член общества может сделать своим, поскольку он ведет себя рационально, т.е. способен воспринимать концепцию общественного блага. Однако конкретные страсти могут заставить его игнорировать это и вынудить применить к нему силу, чтобы оторвать от пыполпсния занятий, которые противоречат концепции общественного блага, от принятия которой он добровольно отказывается" (Green Т.Н. Op. cit. Р. 126. См. также: Knight F.N. Ethics and Economic Reform. P. 78.)
  89. Rousseau J.J. Op. cit. P. 35.
  90. Руссо: "Если противостояние индивидуальных интересов непременно препятствует становлению общества, то согласие этих самых интересов делает возможным это становление" (Rousseau J.J. Op. cit. P. 34). Грин: "Не может быть никакой правоты без осознания общих интересов членами общества. Без этого может быть некоторая власть у части индивидуумов, но не будет признания этой власти другими как власти, которой они позволяют осуществляться, как не будет и притязаний на такое признание; а без признания и притязаний на признание не может быть никаких прав" (Green Т.Н. Op. cit. P. 48); "Ни у кого поэтому не может быть права, кроме (I) как в качестве члена общества и (2) как общества, где признаны некоторые общие блага в качестве их собственного идеального блага, которое должно быть для каждого из них" (Ibid. P. 44).
  91. Kant I. Op. cit. P. 34.
  92. Kant I. Op. cit. P. 51—52.
  93. Knight F.H. The Ethics of Competition // The Ethics of Competition and Other Essays. P. 41—45.
  94. Stigler G.J. The New Welfare Economics // American Economic Review. 1943. Vol. 33. June. P. 355—359, в особенности р. 357—359.
  95. Sctniuclxon Р.Л. Further Comment on Welfare Economics // American F/conomic Review. 1943. Vol. 33. September. P. 605 fn.
  96. Dobb M.H. Economic Theory and the Problems of a Socialist Economy // Economic Journal. 1933. Vol. 43. December. P. 588—598; LernerA.P. Economic Theory and Socialist Economy // Review of Economic Studies. 1934. Vol. 2. October. P. 51—61; Dobb M.H. A Reply // Ibid. February. P. 144—151; LernerA.P. A Rejoinder // Ibid. P. 152—154.
  97. Dobb M.H. Economic Theory and the Problems of a Socialist Economy. P. 591—593.
  98. Dobb M.H. A Reply. P. 147—148.
  99. Lerner A.P. Economic Theory and Socialist Economy. P. 58.
  100. Dobb M.H. Economic Theory and the Problems of a Socialist Economy. P. 597.
  101. Rousseau J.J. Op. cit. Book III. Ch. IV—VII.
  102. "Все мнения, даже ошибки, известные, прочтенные и выверенные, очень полезны и способствуют скорейшему достижению того, что более истинно" (Milton J. Areopagitica // Complete Poetry and Selected Prose of John Milton. N. Y.: Modern Library, 1942. P. 690.)
  103. Rousseau JJ. Op. cit. P. 165—166. "Принцип правления большинства следует воспринимать этически как средство удостовериться в истинной «генеральной воле» не как в механизме, с помощью которого один набор интересов делают подчиненным другому набору. Политическая дискуссия должна представлять поиск объективно идеальной или «наилучшей» политики, а не столкновения интересов". (Knight F.H. Economic Theory and Nationalism. P. 296 fn.) Внутренние кавычки великолепно показывают все трудности. Подобное мнение высказал и профессор Симоне. (См.: Simons H.C. Introduction: A Political Credo // Economic Policy for a Free Society. Chicago: The University of Chicago Press, 1948. P. 7—9.)
  104. На эту аналогию мне указал О. Хелмер. Обсуждаемая проблема представляет собой приложение дискриминантного анализа Фишера. Интересный вклад сделан Шуйлером (Schuyler G.L. The Ordering of n Items Assigned to k Rank Categories by Votes of т Individuals // Journal of the American Statistical Association. 1948. Vol. 43. December. P. 559—563). Предложение Шуйлера, по сути, является упорядочивающим ранги способом голосования, модифицированным введением весов различных индивидуумов таким образом, чтобы сделать их более сравнимыми. Рассматриваемый просто как устройство для примирения противоположных интересов, он подпадает под запрет теоремы 2, однако его скорее рассматривают как способ примирения различных оценок некоей объективной реальности. Вероятностные следствия модели не разработаны и не исследован наиболее интересный для политической теории вопрос о "весах" индивидуумов в терминах их подлинной способности судить.
  105. Этот пункт подчеркивал Добб, особенно в отношении инвестиционных решений и возможности устаревания (Dobb M.H. Economic Theory and the Problems of a Socialist Economy. P. 596—597, а также: Dobb M.H. A Note on Saving and Investment in a Socialist Economy // Economic Journal. 1939. Vol. 49. December. P. 726—727).
  106. Тип гибкости, необходимый для рационального планирования в условиях неопределенности, хорошо описан Хартом (Hart A.G. Risk, Uncertainty, and the Unprofttability of Compounding Probabilities // Studies in Mathematical Economics and Econometrics / О. Lange, F. Mclntyre, Т.О. Yntema (eds.). Chicago: The University of Chicago Press, 1942. P. 110—118). Рациональная теория планирования в условиях неопределенности идентична основам теории статистического вывода (см.: Wald A. Foundations of a General Theory of Sequential Decision Functions // Econometrica. 1947. Vol. 15. October. P. 79—313).
  107. Наиболее последовательными являются рассуждения Редера (Reder M. W. Op. cit. Ch. VII).
  108. Hicks J.R. Value and Capital. 2nd edition. Oxford: The Clarendon Press, 1946. P. 135.
  109. Han A.G. Op. cit.; Friedman M. Lange on Price Flexibility and Employment: A Methodological Criticism // American Economic Review. 1946. Vol. 36. September. P. 627—630.
  110. "Правило относительного большинства само по себе является результатом соглашения и предполагает единогласие, по крайней мере в начале" (Rousseau J.J. Op.citP. 18—19).
  111. Однако существует несколько попыток ревизии, что должно быть сделано в строгой математической форме, как показал Блау (см. раздел 2.4).
  112. Barbut M. Quelques aspects mathematiques de la decision rationnelle // Les Temps Modernes. 1959. Vol. 15. Octobre. P. 725—745; в переводе на английский: Barbut M, Does the Majority Ever Rule? // Portfolio and Art News Annual. 1961. N 4. P. 79—83, 161—168.
  113. Economic appliqude. 1952. Vol. 5. Octobre—Decembre.
  114. Guilbaud G.-Th. Les theories de 1'interet general et la probleme logique de 1'agregation // Economic appliquee. 1952. Vol. 5. Octobre—D<5cembre. P. 501—584.
  115. Vickrey W. Utility, Strategy, and Social Decision Rules // Quarterly Journal of Economics. 1960. Vol. 74. November. P. 507—535.
  116. Riker W. Voting and the Summation of Preferences: An Interpretive Bibliographic Review of Selected Developments During the Last Decade // American Political Science Review. 1961. Vol. 55. December. P. 900—911.
  117. Rothenberg J. The Measurement of Social Welfare. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1961.
  118. Black D. The Theory of Committees and Elections. Cambridge, U. K.: Cambridge University Press, 1958.
  119. Nanson E.J. Methods of Election // Transactions and Proceedings of the Royal Society of Victoria. 1882. Vol. 19. P. 197—240.
  120. Guilbaud G.-Th. Op. cit. P. 513—515.
  121. Condorcet M. de. Essai sur 1'application de 1'analyse a la probability des decisions rendues a la pluralite des voix. Paris, 1785. Подробное исследование идей Кондорсе есть в: Granger G.-G. La Mathematique social du Marquis de Condorcet. Paris: Presses universitaires de France, 1956. (Труды Кондорсе по проблемам голосования проанализированы там преимущественно в главе 3, в особенности на стр. 94—129 дан пространный конспект работы Кондорсе.)
  122. Borda J.C. Memoire sur les elections au scrutin // Memoires de Г Academic Royale des Sciences. 1781. P. 657—665. Доклад был представлен в 1770 г. Английский перевод с язвительными комментариями можно найти в: Grazia A. de. Mathematical Derivation of an Election System // Isis. 1953. Vol. 44. June. P. 42—51.
  123. Black D. The Theory of Committees and Elections. Part II. Fn. 8.
  124. Goodman L., Markowitz H. Social Welfare Functions Based on Individual Rankings // American Journal of Sociology. 1952. Vol. 58. November. P. 257—262.
  125. Black D. The Theory of Committees and Elections. P. 230.
  126. Black D. The Theory of Committees and Elections. P. 232.
  127. Ibid. P. 227—230.
  128. Blau J.H. The Existence of Social Welfare Functions // Econometrica. 1957. Vol. 25. April. P. 302—313.
  129. Предшествующее не означает, что условиями 2 или 2' (положительная связь коллективных и индивидуальных оценок) можно пренебречь в общем развитии теории коллективного выбора. Его можно заменить принципом Парето в целях демонстрации несовместности первоначального набора условий; но если одно из остальных условий будет опущено ради того, чтобы добиться совместности, тогда условие 2 или 2', безусловно, сильнее, чем условие Парето (если сохранить условие 4 об отсутствии навязанных социальных решений). Например, версия условия 2' используется Мэем для построения обоснования правила большинства (см. раздел 8.2.3).
  130. Это доказательство впервые появилось в моей статье (Arrow KJ. Le principe de rationalite dans les decisions collectives // Economic appiiqude. 1952. Vol. 5. Octobre. P. 469—484), увы, с несколькими досадными опечатками.
  131. Блау формулирует соответствующую теорему (Blau J.H. Op. cit. P. 309), но к списку условий добавляет условие 2'. Оно кажется излишним; несовместность присутствует и без введения условия 2', как будет показано в дальнейшем доказательстве.
  132. Blau J.H. Op. cit. P. 310.
  133. Guilbaud G.-Th. Op. cit. Fn. 4. P. 555—572.
  134. Довод приведен в весьма лаконичной форме, и я не в состоянии определить, является ли он вполне корректным
  135. May K.O. A Set of Independent Necessary and Sufficient Conditions for Simple Majority Decision // Econometrica.1952. Vol. 20. October. P. 680—684.
  136. Он отмечает (May K.O. A Set of Independent Necessary and Sufficient Conditions for Simple Majority Decision. P. 680), что, "поскольку отсюда следует, что групповой выбор может быть построен, если нам известны групповые предпочтения для каждой пары альтернатив, проблема [определения группового выбора по всем наборам] сводится к случаю двух альтернатив". Однако это правильно только в том случае, если присутствует транзитивность. В противном случае нет обязательной связи между выбором из двухэлементного множества и выбором из множеств большего размера. Если альтернатив больше двух, то тогда легко видеть, что многие способы выбора удовлетворяют всем условиям Мэя, например правило относительного большинства и сложение рангов. Представляется, что нелегко будет полностью охарактеризовать все правила построения коллективных решений, удовлетворяющие условиям Мэя при любом конечном числе альтернатив.
  137. В следующей заметке Мэй показал, что его четыре условия полностью независимы в том смысле, что можно найти процедуру коллективного решения, удовлетворяющую любому подмножеству условий и не способную удовлетворить другим. См.: May K.O. A Note on the Complete Independence of the Conditions for Simple Majority Decision // Econometrica. 1953. Vol. 21. January. P. 172—173. Отсюда следуют, что, возможно, полезным способом классификации процедур коллективного выбора является перечисление тех условий Мэя, которым они удовлетворяют.
  138. Murakami Y. Some Logical Properties of Arrowian Social Welfare Function // The Journal of Economic Behavior. 1961. Vol. 1. N 1. April. P. 77—84.
  139. Строго говоря, этот последний результат доказан только для случая, где нет индивидуумов, безразличных по отношению к выбору между любыми двумя альтернативами.
  140. Blau J.H. Op. cit. Fn. 18.
  141. Murakami Y. A Note on the General Possibility Theorem of the Social Welfare Murakami Y, A Note 01 l-unclion // bconometnca. 1961. Vol. 29. April. К 244—246.
  142. См.: Little I.M.D. Social Choice and Individual Values // Journal of Political Economy. 1952. Vol. 60. October. P. 422—432; Little I.M.D. L'avantage collectif// Economic appliquee. 1952. Vol. 5. Octobre—Decembre. P. 455—468; Bergson A. On the Concept of Social Welfare // Quarterly Journal of Economics. 1954. Vol. 68. May. P. 233—252; Kemp M.C. Arrow's General Possibility Theorem // Review of Economic Studies. 1953—1954. Vol. 21. P. 240—243; Buchanan J.M. Individual Choice in Voting and the Market // Journal of Political Economy. 1954. Vol. 62. August. P. 334—343; Mishan E.J. An Investigation into Some Alleged Contradictions in Welfare Economics // Economic Journal. 1957. Vol. 68. September. P. 445—454; Buchanan J.M., TullockG. The Calculus of Consent. Appendix 2. Ann Arbor: The University of Michigan Press, 1962, в особенности р. 331—334 (русский перевод — Бьюкенен Д., Таллок Г. Расчет согласия. Логические основания конституционной демократии // Бьюкенен Дж.М. Сочинения. М.: Таурус Альфа, 1997 (Нобелевские лауреаты по экономике)).
  143. Bergson A. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics. P. 310—334.
  144. Процитированное определение связывает коллективное упорядочение с каждым набором индивидуальных упорядочений; возможно, было бы лучше говорить в более общем виде о функции коллективного выбора и оставить для особого рассмотрения вопрос о том, должна ли функция коллективного выбора быть упорядочением. Желательность условия транзитивности подвергалась критике и требует обсуждения (см. раздел 8.5).
  145. Kemp M.C., Asimakopulos A. A Note on "Social Welfare Functions" and Cardinal Utility // Canadian Journal of Economics and Political Science. 1952. Vol. 18. May. P. 195—200.
  146. Аналогичная неудача в оценке потребности в конституции видна и в критике М.С. Кемпа (Kemp M.C. Op. cit. Fn. 32). Он доказывает, что выбор процедуры решения невозможно сделать иначе, чем в терминах конкретной ситуации выбора, по скольку процедуры выбора будут оцениваться в терминах их последствий. Но эта аргументация никоим образом не отменяет потребности в конституции; на самом деле, это значит, что для каждой ситуации выбора (или множества) существует под ходящий способ комбинирования индивидуальных упорядочений для получения коллективного решения. Это все равно, что сказать, что можно скомбинировать индивидуальные упорядочения для получения системы оценок благосостояния, достаточной для существования коллективного выбора в любом множестве.
  147. Little I.M.D. Social Choice and Individual Values. Fn. 32. P. 423—424.
  148. Ibid. P. 427, 430—432.
  149. Popper К. The Logic of Scientific Discovery. N. Y.: Basic Books, 1959. P. 55 (русский перевод — Поппер К. Логика и рост научного знания. М.: Прогресс, 1983).
  150. Bergson A. On the Concept of Social Welfare. P. 242.
  151. Buchanan J.M. Op. cit. Fn. 32.
  152. Я обычно придерживаюсь мнения, что определение является более или менее полезным соглашением, не более того. Но как Бьюкенен, так и Литтл очень серьезно относятся к точной формулировке определения. Так, Бьюкенен не так уж настаивает, что коллективная рациональность, в моем понимании, является неудовлетворительным условием для конституции. Он просто отрицает, что может существовать нечто, именуемое коллективной рациональностью. Несомненно, слова — лишь полутени значений, которые нелегко уничтожить в мозгу читателя; но этот тип путаницы представляется вторичным, когда формулируются определения в явном виде. Бьюкенен и Литтл в некоторых местах подменяют словесными выкрутасами настоящую аргументацию.
  153. Buchanan J.M., Tullock G. Op. cit. Ch. 6. Fn. 32. Поскольку последующие ссылки, которые я буду делать по этой работе, в основном негативного характера, я должен заметить, что они не относятся к тому существенному вкладу работы Бьюкенена и Таллока, который, с моей точки зрения, имеет очень большое значение.
  154. Little I.M.D. Social Choice and Individual Values. P. 425; Bergson A. On the Concept of Social Welfare. P. 243.
  155. Этот момент с восхитительной четкостью рассмотрен Р. Дэвисом (Davis R.G. Comment on Arrow and the "New Welfare Economics" // Economic Journal. 1958. Vol. 68. December. P. 834—835) в комментарии по поводу Мишана (Ibid. Fn. 32). По сути, Ми-шан признал аргументацию Дэвиса; см.: Mishan EJ. Arrow and the "New Welfare Economics": A Restatement // Ibid. 1958. Vol. 68. September. P. 595—597. По каким-то странным редакционным накладкам согласие Мишана с замечаниями Дэвиса появилось раньше, чем заметка Дэвиса.
  156. Scitovsky Т. A Note on Welfare Propositions in Economics // Review of Economic Studies. 1941. Vol. 9. November. P. 77—88; Baumol WJ. Community Indifference // Ibid. 1946—1947. Vol. 14. N 1. P. 44—48; глава 4 данного текста.
  157. TullockG. Op. cit. Fn. 32. P. 332.
  158. Даль отмечает также, что все выборы, где задействовано много вопросов, нельзя интерпретировать как определяющие большинство по любому конкретному вопросу; поэтому он говорит о правиле "меньшинств" в противовес либо правилу большинства или правилу меньшинства; см.: Dahl R. A Preface to Democratic Theory. Chicago: The University of Chicago Press, 1956. P. 127—132. Однако значимым вопросом является не существование большинства по каждой проблеме, но существование большинства по набору проблем, представляемых кандидатом по любому Другому доступному набору проблем.
  159. Bergson A. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics. P. 318—320; ?м. также: Samuelson Р.Л. Foundations of Economic Analysis. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1947. P. 228.
  160. Поскольку рыночный механизм удовлетворяет условию независимости от посторонних альтернатив, он должен нарушать другое условие, а именно — условие коллективной рациональности (условие 1 или Г). Это нарушение точно известно как пересечение кривых безразличия товаров. Кривые коллективного безразличия Самуэльсона (см.: Samuehon P.A. Social Indifference Curves // Quarterly Journal of Economics. 1956. Vol. 70. February. P. 1—22) удовлетворяют условию коллективной рациональности, но нарушают условие независимости от посторонних альтернатив; перераспределение дохода, связанное с каждым изменением в коллективных производственных возможностях, требует высокой степени централизации знания относительно функций индивидуальной полезности.
  161. Cuilbaud G.-Th. Op. cit. P. 576—584.
  162. Inada К. On the Economic Welfare Function: Technical Report N 97, Contract Nonr-225(50) for the Office of Naval Research, Institute for Mathematical Studies in the Social Sciences. Stanford, California: Stanford University, 1961.
  163. Этот результат предполагает, что функция общественного благосостояния определена для всех возможных функций полезности индивидуумов, подчиняющихся только обычным условиям квазивыпуклости и монотонности. Если известно a priori, что функции полезности всех индивидуумов индивидуалистичны (см. раздел 8.6) и попадают в некоторый, весьма ограниченный класс, такой, как демонстрирование постоянной предельной полезности для некоторого товара, тогда могут быть получены функции общественного благосостояния, для которых предельная общественная норма замещения полностью определена индивидуальными нормами в одной и той же точке.
  164. BergsonA. On the Concept of Social Welfare. P. 244—245.
  165. BergsonA. On the Concept of Social Welfare. P. 250—251.
  166. Stevens S.S. The Psychophysics of Sensory Function // The American Scientist. 1961. Vol. 48. June. P. 226—253; см. в особенности обсуждение альтернативных шкап на р. 231—233. Метод, упомянутый Стивенсом как "шкала категорий", или "шкала размеров", что он предпочитает, еще сильнее наметил разрыв с типичными взглядами экономистов на возможности наблюдать поведение.
  167. Классическое и все же лучшее утверждение этой позиции принадлежит Р. Фришу (Frisch R. Sur un probleme d'economie pure // Norsk Matematisk Forenings Skrifter. Serie I. 1926. N 16. P. 1—40).
  168. Dahl R. Op. cit. P. 134—135.
  169. Я благодарен Цассенхаусу за то, что он обратил мое внимание на важность этого понятия для оценок благосостояния.
  170. Более формальное представление этого понятия дано моим коллегой П. Саппсом (Suppes P. Two Formal Models for Moral Principles: Technical Report N 15, Office of Naval Research Contract Nonr 225(17). Applied Mathematics and Statistics Laboratory. Stanford, California: Stanford University, 1957. P. 17—18).
  171. Интересное рассуждение по поводу моральных последствий этой позиции, состоящей в том, что многие атрибуты индивидуумов аналогичны по природе внешним чертам, см. в: Walsh V.C. Scarcity and Evil. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1961. Этой ссылкой я обязан Р. Манделлу.
  172. См. рассуждения о подходе Борда в разделе 8.1; Edgeworth F.Y. Mathematical Psychics. L.: С. Kegan and Paul, 1881. P. 7—8; Armstrong W.E. Utility and the Theory of Welfare // Oxford Economics Papers. New Series. 1951. Vol. 3. October. P. 259—271; Goodman L., Markowitz H. Op. cit. Fn. 14. Превосходный анализ взглядов Армстронга и Гудмана — Марковица можно найти у Ротенберга (Rothenberg J. Op. cit. Fn. 7) в главах 7 и 8.
  173. Goodman L, Markowitz H. Op. cit. P. 5—6.
  174. Очевидно, что этот результат близко связан с рассуждениями фон Неймана и Моргенштерна по поводу игр с дискретными шкалами полезности, где также наименее проницательный игрок может потерять все. См.: Neumann J. von, Morgenstern О.Theory of Games and Economic Behavior. 2nd edition. Princeton: Princeton University Press, 1947. P. 614—616.
  175. Примеры, подобные вышеприведенному, могут быть даже более убедительными, чем нужно, благодаря скрытому эмпирическому содержанию. Если, на самом деле, нам никогда не встречались два подобных индивидуума, тогда наш интуитивный отказ от совершенно неравного распределения дохода может быть некорректным; ведь наша интуиция руководствуется ситуациями, с которыми мы сталкиваемся, и может случиться, что если нам пришлось бы встретить двух индивидуумов, один из которых более чувствителен, чем другой, независимо от их уровня дохода, мы приняли бы решение Гудмана — Марковица. Гудман и Марковиц устно предложили мне, что на самом деле уровни различений стали бы ближе друг к другу при более низком уровне дохода (это одна интерпретация, уменьшающая предельную полезность дохода); таким образом, сумма полезностей была бы максимальной в некоторой точке, где не было бы полного неравенства. Поскольку в реалистичных случаях можно доказать, что функция общественного благосостояния Гудмана — Марковица не ведет к вопиющей абсурдности, не следует использовать это свидетельство в тексте. На самом деле, несложно построить примеры, подобные приведенному в тексте, для которых, однако, возрастающая способность видеть различия при более низком уровне дохода достаточна для того, чтобы предотвратить полное неравенство, но тем не менее умеренное различие в числе уровней различения ведет к очень большому неравенству дохода.
  176. Kemp M.C. Op. cit. Fn. 32. P. 242—243.
  177. Острое столкновение противоборствующих взглядов присутствует в дискуссии между Даунсом и Таллоком (Downs A. In Defense of Majority Voting // Journal of Political Economy. 1961. Vol. 69. April. P. 192—199; Tullock G. Reply to a Traditionalist//Ibid. P. 200—203.
  178. CM. DahlR. Op. cit. Ch. 2, в особенности р. 41.
  179. Отказ рассматривать любые альтернативы как предпочитаемые по историческим причинам снимает одну из причин отсутствия нейтральности (см. подраздел 8.2.3) и, следовательно, согласно аргументации Мэя, неявно предполагает правило большинства, если приняты его другие, более противоречивые условия. Однако могут быть иные причины отвергать нейтральность в особых случаях, так что может понадобиться прибегнуть к квалифицированному большинству.
  180. Buchanan J.M., Tullock G. Op. cit. P. 258—259.
  181. В отсутствии затрат на принятие решений; это только те затраты, которые, по их теории, объясняют принятие неединогласных решений.
  182. См. сноску 5, раздел 2.2. С тех пор как был написан этот текст, несколько важных статей были опубликованы в этой области: Houthakker H: Revealed Preference and the Utility Function // Economica. New Series. 1950. Vol. 17. May. P. 159—174; Uzawa H. Preference and Rational Choice in the Theory of Consumption. Ch. 9 //Mathematical Methods in the Social Sciences, 1959 / K. J. Arrow, S. Karlin, P. Suppes (eds.). Stanford, California: Stanford University Press, 1960. Статья Билля была переведена Ньюменом, см.: Ville J. The Existence-Conditions of a Total Utility Function // Review of Economic Studies. 1951—1952. Vol. 19. N 2. P. 123—128. Превосходный исторический обзор дан Самуэльсоном: Samuelson P.A. The Problem of Integrability in Utility Theory//Economica. 1950. Vol. 17. November. P. 355—385.
  183. Riker W.H. The Paradox of Voting and Congressional Rules for Voting on Amendments // American Political Science Review. 1958. Vol. 52. June. P. 349—366.
  184. Dahl R. Op. cit. P. 39—41.

Hosted by uCoz